7.10 Intervalo de confianza para la diferencia de medias

El intervalo de confianza para el parámetro diferencia de medias \(\mu_1 - \mu_2\) es:

\[ \left( (\bar{x}-\bar{y})\pm t_{n+m-2-\Delta ,\alpha /2}^{{}}\sqrt{ \frac{\hat{S}_{n-1}^{2}}{n}+\frac{\hat{S}_{m-1}^{2}}{m}}\right) , \] siendo \(\Delta\) el entero más próximo a (Corrección de Welch) \[ \frac{\left( (m-1)\frac{\hat{S}_{n-1}^{2}}{n}-(n-1)\frac{\hat{S}_{m-1}^{2}}{m }\right) ^{2}}{(m-1)\left( \frac{\hat{S}_{n-1}^{2}}{n}\right) ^{2}+(n-1)\left( \frac{\hat{S}_{m-1}^{2}}{m}\right) ^{2}}. \]

Uno de los dilemas que más trae de cabeza a los historiadores y antropólogos es si existen diferencias físicas y psicológicas (inteligencia, fuerza, carácter… ) entre la gente de derechas y de izquierdas. Hoy vamos a traer algo de luz a este tema, comparando las estaturas de famosos personajes históricos de izquierdas y de derechas.

Calcular un intervalo de confianza, al 95 por ciento, para la diferencia de estaturas medias, y razonar si alguno de los grupos puede considerarse más alto que el otro.

De derechas	Estatura	De izquierdas	Estatura
Adolf Hitler	175	Boris Yeltsin	187
Rudolf Hess	175	Josif Stalin	168
Francisco Franco	163	Fidel Castro	191
Reinhard Heydrich	191	Nicolas Maduro	190
Benito Mussolini	169	Che Guevara	175
Donald Trump	188	Hugo Chavez	173
Joseph Goebbels	165	Lenin	165
Hermann Goering	178	Nikita Khruschev	160
Heinrich Himmler	174	Leonid Bhreznev	173
Jordi Pujol	165	Gorbachov	175
Jose Maria Aznar	171	Pablo Iglesias	176
Silvio Berlusconi	171	Evo Morales	174

Solución:

Calcular el intervalo de confianza a mano es bastante tedioso (lo dice uno que lo tuvo que hacer muchas veces), por culpa del valor \(\Delta\) que aparece en la fórmula. Los afortunados hijos de la era digital tenéis la suerte de contar con R o herramientas similares. Tan sencillo como poner los datos y una orden:

e1=c(175,175,163,191,169,188,165,178,174,165,171,171)
e2=c(187,168,191, 190,175,173,165,160,173,175,176,174)
t.test(e1,e2, conf.level=0.95)$conf.int

## [1] -9.566  5.899
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

Este es el procedimiento para realizar un test de comparación de medias. Ahora mismo nos interesa el intervalo de confianza, que es \((-9.56, 5.89)\). Como podemos ver, el intervalo de confianza contiene al cero, o sea que hay poca diferencia entre la estatura media de un grupo y otro. De todas formas, para tomar una decisión más acertada, desde el punto de vista estadístico, es mejor realizar un contraste de hipótesis.