4.8 Propiedades de la probabilidad

A partir de las tres primeras propiedades de la probabilidad (axiomas de Kolmogorov), pueden deducirse fácilmente las siguientes:

La probabilidad del suceso complementario vale 1 menos la del suceso: \[P(\bar{A})=1-P(A)\]
Si un suceso \(A\) está contenido en un suceso \(B\) (siempre que ocurre \(A\) ocurre \(B\)), entonces \(P(A)\leq P(B)\)

Linda (Menos es más)

El siguiente ejemplo corresponde a una prueba realizada por Kahneman durante los años 70: Se contaba la siguiente historia sobre una mujer llamada Linda:

Linda tiene treinta y un años, es soltera, franca y muy brillante. Se especializó en filosofía. De estudiante le preocupaban mucho los asuntos de discriminación y justicia social, y también participó en manifestaciones antinucleares.

Ahora y se proponía elegir de entre las siguientes afirmaciones aquella que parezca más probable sobre la descripción dada.
 Linda es profesora de primaria.
 Linda trabaja en una librería y recibe clases de yoga.
 Linda milita en el movimiento feminista.
 Linda presta asistencia social en psiquiatría.
 Linda es un miembro de la Liga de Mujeres Votantes.
 Linda es cajera de un banco.
 Linda es corredora de seguros.
 Linda es cajera y activista del movimiento feminista.

Linda encaja muy bien en el tipo de la feminista activa, bastante bien en el de alguien que trabaja en una librería y recibe clases de yoga, y muy poco en el de la cajera de un banco o en el de la corredora de seguros.

Centrémonos ahora en los ítems críticos de la lista: ¿parece Linda más una cajera de banco o una cajera de banco que milita en el movimiento feminista? Cualquiera estará de acuerdo en que Linda se ajusta más a la idea de una «cajera de banco feminista» que al estereotipo de las cajeras de banco. La cajera estereotipada no es una militante feminista, y añadir este detalle a la descripción hace que la historia sea más coherente.

El giro radica en los juicios de probabilidad, porque hay una relación lógica entre los dos escenarios. Piénsese en términos de los diagramas de Venn. El conjunto de las cajeras de banco feministas está enteramente incluido en el conjunto de las cajeras de banco, pues cada cajera feminista es una cajera más. Por consiguiente, la probabilidad de que Linda sea una cajera feminista tiene que ser más baja que la de que sea una cajera de banco. Si especificamos un posible suceso con mayor detalle, solo podemos bajar su probabilidad. El problema crea así un conflicto entre la intuición de representatividad y la lógica de la probabilidad.

Nadal va a jugar un partido. Decir cuál es el suceso más probable

A. Nadal perderá el primer set.

B. Nadal perderá el primer set, pero ganará el partido.

C. Nadal ganará el primer set, pero perderá el partido.

De nuevo, a primera vista podríamos tender a afirmar que el suceso más probable es el B, pero B está contenido en el suceso A (A es B con una condición más). Así que la probabilidad de B es menor o igual que la de A (la opción C, que Nadal pierda, no se contempla, desde luego).


Si \(A\) y \(B\) son sucesos cualesquiera \[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]
Si la probabilidad de que llueva el sábado es 0.6, y la de que llueva el domingo es 0.7, ¿cuál es la probabilidad de que llueva el fin de semana?
Un medicamento A para el dolor de estómago ofrece un 70 por ciento de probabilidades de eliminar el dolor con la toma de una pastilla. Otro medicamento B ofrece un 85 por ciento de éxito con la toma de una pastilla (eso sí, las pastillas se venden en cajas de 25, que las farmacéuticas ganan poco dinero). Uno que se ha hinchado a comer y le dan retortijones decide tomarse una pastilla de cada (los medicamentos no son incompatibles). ¿Cual es la probabilidad de que se le quite el dolor de estómago?
La probabilidad de la diferencia es \[P(A-B)=P(A)-P(A \cap B)\]
Diagrama de Venn de la diferencia de sucesos.

Figura 4.18: Diagrama de Venn de la diferencia de sucesos.

En el último trimestre, se ha realizado la siguiente clasificación de pacientes de una clínica en función de tener o no artrosis.
Artrosis No Artrosis Totales
Hombres 45 30 75
Mujeres 55 15 70
Totales 100 45 145

La probabilidad de que un paciente tenga artrosis es: \(P(A)=100/145,\) y de que no la tenga es \(P(\overline{A})=1-(100/145)\)

La probabilidad de que un paciente tenga artrosis o sea una mujer es \[P(A\cup M)=P(A)+P(M)-P(A\cap M)=\frac{100}{145} +\frac{70}{145} -\frac{55}{145}\]

Probabilidad de que un paciente sea hombre y no tenga artrosis: \[P(H-A)=P(H)-P(H\cap A)=\frac{75}{145}-\frac{45}{145}=\frac{30}{145}=P(H\cap \overline{A})\]

Ejemplo 4.1 (de que no soy el único que inventa problemas estrambóticos)