Capítulo 6 La Variable Normal o Gaussiana

“No se me ocurre nada tan propenso a impresionar la imaginación como la maravillosa forma de orden cósmico expresada por la ley del error (la curva de Gauss). Si un salvaje la hubiera comprendido, le habría rendido culto como a una divinidad. Cuanto más grande es la multitud y mayor la anarquía aparente, mas perfecto es su dominio. Es la ley suprema de la sinrazón: siempre que una muestra grande de elementos caóticos juegan un papel similar en magnitud, emerge una forma insospechada y bella de regularidad, presente en estado latente desde el principio”.

Sir Francis Galton

Unos años después de escribir esta frase, Galton escribió una versión 2.0 de la misma, quizá más politicamente correcta. Sustituyó “Si un salvaje la hubiera … divinidad” por “Los griegos, de haberla conocido, la habrían divinizado”.

La distribución normal aparece por primera vez en 1733 cuando de Moivre la propone como aproximación de la distribución binomial.

En 1783 Laplace la propone para describir los errores accidentales en la medición de una magnitud física, por ejemplo en astronomía.

El termino “ley normal” no aparece hasta 1894, de la mano de Pearson (Porter 1986).

De manera general, una variable aleatoria \(X\) continua se dice que sigue una distribución normal o gaussiana de parámetros \(\mu\) y \(\sigma\) si su función de densidad es de la forma: \[f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-\dfrac{(x-\mu )^2}{2\sigma ^{2}}},\ \ -\infty <x<\infty \]

Se verifica que \[ E(X)=\int_{-\infty }^{\infty } xf(x)dx = \mu, \ \ \ Var(X)=\int_{-\infty }^{\infty } (x-\mu )^2f(x)dx = \sigma^2\] esto es,

la media o esperanza es el parámetro \(\mu\) y la varianza es el parámetro \(\sigma\).

La función de densidad es simétrica respecto de la media \(\mu,\) es decir, áreas a la derecha y a la izquierda (probabilidades) coinciden. Las areas entre valores de \(\mu -k\sigma\) y \(\mu +k\sigma \ (k=1,2,3)\) pueden verse en la siguiente gráfica, llamada la campana de Gauss.

Esta variable, cuando se consideran los valores \(\mu=0\) y \(\sigma=1\), se llama Normal estándar o Normal tipificada.

Bibliografía

Porter, Theodore M. 1986. The Rise of Statistical Thinking, 1820-1900. Princeton University Press.