5.4 Esperanza Matemática de una variable aleatoria

Es la generalización de la media aritmética a toda la población, es decir, es la media de la variable aleatoria. También se llama valor medio, valor esperado o esperanza matemática, y se representa por la letra griega \(\mu.\)

Si \(X\) es una variable aleatoria discreta (representada, de manera general, por una tabla de valores \(x_{i}\) y probabilidades \(p_{i}=P( X=x_{i})),\)

\(X\)	\(P(X=x_{i})\)
\(x_{1}\)	\(p_{1}\)
\(x_{2}\)	\(p_{2}\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)
\(x_{n}\)	\(p_{n}\)

la esperanza se calcula como la media aritmética de los valores, es decir la suma de los valores por sus probabilidades (las probabilidades serían las frecuencias relativas).
\[\mu =E \left( X \right) = \sum _{i=1}^{k}x_{i}\cdot p_{i}. \]

Recordemos que la media aritmética de una variable estadística se definió como
\[ \overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}, \]

que, obviamente, sería equivalente a escribir
\[ \overline{x}=\frac{1}{n} \sum _{i=1}^{n}x_{i}= \sum_{i=1}^{n}x_{i} \cdot \frac{1}{n},\]

es decir, sería la esperanza de una variable cuyos valores aparecen todos con la misma probabilidad \(p_{i}=1/n.\)

Si a una variable estadística la representamos por sus valores \(x_{i},\) y sus frecuencias relativas son \(f_{i}=n_{i}/n,\) entonces la media aritmética se puede escribir como
\[ \overline{x}= \sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot f_{i}, \]

esto es, suma de valores por frecuencias. En el caso de una variable aleatoria, las frecuencias se transforman en probabilidades (de ocurrencia). Por eso la esperanza es un valor medio esperado.

Si \(X\) es una variable aleatoria continua, la variable toma infinitos valores. El equivalente continuo de la suma es la integral. La fórmula matemática incluye en este caso a la función de densidad:
\[ \mu =E \left( X \right) = \int _{- \infty}^{ \infty} x\cdot f(x)dx. \]