4.14 Regla de Bayes

Figura 4.27: Thomas Bayes, reverendo presbiteriano inglés (1702-1761).

Vimos antes que \(P(A\mid B)\) no coincide con \(P(B\mid A)\). La regla de Bayes, también llamada regla de la probabilidad inversa establece la relación entre estas probabilidades. \[P(B\mid A)=\frac{P(A \mid B)\cdot P(B)}{P(A)}\] La probabilidad \(P(B)\) se conoce como probabilidad a priori (ex ante) y la probabilidad \(P(B/A)\) se llama probabilidad a posteriori (ex post). En una relación causa-efecto, se trata de determinar la probabilidad de la causa, cuando se ha producido un determinado efecto.

Los síntomas de un paciente (cara amarilla) pueden ser provocados por diferentes causas (anemia, virus, fiebre… ). Cuando se presentan los síntomas (efecto), interesa saber la probabilidad de que haya sido por una u otra causa.

El mal funcionamiento de un ordenador puede deberse a diferentes causas: virus, fallos físicos, incompatibilidades de software… Las causas (virus…) ocasionan el efecto del mal funcionamiento. A partir de que se observa este efecto, se pretende conocer la probabilidad de que lo haya originado una causa concreta (sería calcular la probabilidad inversa de la causa, dado “o condicionado” al efecto).

La película Rush (2013) nos narra la rivalidad existente en los años 70 entre los pilotos de carreras Niki Lauda y James Hunt.

Supongamos que, en 4 carreras de Fórmula 1 entre Niki Lauda y James Hunt, Niki ganó 3 veces frente a 1 que ganó James Hunt. Se van a enfrentar en una próxima carrera. ¿Cuál es la probabilidad de ganar de Hunt?

Figura 4.28: Izquierda: Cartel de la película Rush (2013). Derecha: Los verdaderos Niki Lauda y James Hunt.

Claramente, esta probabilidad es 1/4=0.25.

Supongamos ahora que, una vez que ganó Niki Lauda, estaba lloviendo, y la vez que ganó Hunt también llovía. El pronóstico del tiempo dice que la probabilidad de que llueva en la próxima carrera es del 50 por ciento. ¿Cambia la probabilidad de ganar de James Hunt?

Sea \(H\)=“gana Hunt”. \(A\)=“llueva”. \[ P(H \mid A)=\frac{P(A \mid H)\cdot P(H)}{P(A)}= \frac{1\cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=0.5 \] Como vemos, al existir una probabilidad a priori, la probabilidad a posteriori (también llamada probabilidad inversa) varía, pasa a ser el doble.

Figura 4.29: Hasta en la tele.