4.7 ¿Cómo se asignan probabilidades a los sucesos?

4.7.1 Asignación equiprobable

Cuando un experimento aleatorio da lugar a un espacio muestral con finitos elementos equiprobables, entonces se aplica la famosa Regla de Laplace:

Casos favorables entre casos posibles

Lanzamos un dado de seis caras. El experimento aleatorio da lugar a un espacio muestral con seis posibles resultados (todos igualmente probales).

La probabilidad de que salga un número par es 3 casos favorables entre 6 posibles, es decir 0.5
Nos “encontramos” una tarjeta de débito al lado de un cajero automático. Si la introducimos en el cajero, disponemos de tres intentos para acertar con la clave de 4 digitos. ¿Cuál es la probabilidad de acertar?
  • Solución

Con la regla de Laplace el número de casos favorables es \(3\). El número de casos posibles es la cantidad de posibles números de cuatro dígitos que existen si utilizamos los números del \(0\) al \(9\): \(0000, 0001,...., 9999\) que son diez mil posibilidades. Por lo tanto, la probabilidad de acertar es 3/10000.

4.7.2 Asignación frecuentista

Cuando se repite muchas veces un mismo experimento, las frecuencias relativas de sus posibles resultados tienden a estabilizarse en torno a unos valores (números) concretos.

Esto se conoce como ley de estabilidad de las frecuencias (Jacob Bernoulli, 1713, uno de los resultados conocidos como leyes de los grandes números).

Es un hecho experimental que cuando se lanza una moneda al aire un número alto de veces, la mitad de las veces aproximadamente aparece cada cara. Análogamente, si se lanza repetidamente un dado de seis caras iguales, cada una de las caras sale aproximadamente la sexta parte de las veces en las que se lanzó el dado. Si la moneda, o el dado, se lanza un número bajo de veces, digamos 10 0 15 veces, puede suceder que la indicada aproximación a la mitad de las veces para cada cara de la moneda, o a la sexta parte de las veces para cada cara del dado no sea correcta. No sería impensable que de 10 veces, en nueve aparezca cara y solo una sea cruz, en la moneda, o bien, que al lanzar el dado 10 o 15 veces, no aparezca el 3 en ninguna ocasión. Pero ocurre que cuanto mayor es el número de veces que se lanza el dado, o que se lanza la moneda, mayor es la aproximación de la frecuencia relativa (el número de veces que aparece el suceso dividido por el número total de veces que se realizó el experimento) a la probabilidad del suceso.

La observación de un número elevado de pacientes con unos síntomas determinados nos permite conocer la probabilidad de que se tenga una determinada enfermedad. Cada vez que analizamos un paciente, tendrá la enfermedad o no. Anotando el número de pacientes que tiene la enfermedad (\(k\)) de un total de \(n\) pacientes, la frecuencia relativa de dicha enfermedad es \(k/n\), que, a medida que el valor \(n\) sea más elevado, se irá aproximando a un valor numérico concreto, que será su probabilidad.

Las compañías de seguros elevan o disminuyen el precio de los seguros (por ejemplo de accidente) en función de la probabilidad de los mismos. El precio de un seguro de accidente en avión es bajo porque la probabilidad de que se registre un accidente de avión también lo es. Esta probabilidad se conoce tras haber contabilizado el número de accidentes tras un número muy elevado de vuelos.
El Lanzamiento de una moneda.

Un experimento muy simple para comprobar la ley de Bernoulli de estabilidad de las frecuencias consiste en lanzar una moneda, anotar si sale cara o cruz, y repetirlo un montón de veces. A medida que el número de repeticiones del experimento (lanzamientos) crezca, la frecuencia de aparición de cara (o de cruz) irá aproximándose a 0.5.

El naturalista francés George Lecler (conde de Buffon) (1707-1788) lanzó al aire una moneda 4.040 veces. El resultado: 2.048 caras, o una proporción de caras de \(2048/4040\) = 0.5069. Cerca del año 1900, Karl Pearson lanzó al aire una moneda 24.000 veces. El resultado: 12.012 caras, una proporción de 0.5005.

Mientras estuvo preso por los alemanes durante la Segunda Guerra Mundial, el matemático sudafricano John Kerrich lanzó 10.000 veces una moneda al aire. El resultado: 5.067 caras, una proporción de 0.5067.

Esto con R (o cualquier lenguaje de programación) puede hacerse muy facilmente mediante el comando sample que arroja números de forma aleatoria. sample(a:b, N, replace=T) escribe N números enteros entre a y b, y si queremos que se puedan repetir, escribimos replace=T. Por ejemplo, ahora vamos a “simular” el lanzamiento de 1000 monedas (el número 1 es cara, 2 es cruz), y los resultados los visualizamos en una tabla.

library(pander)
x=sample(1:2,1000, replace=T) 
pander(table(x))
1 2
514 486

El Lanzamiento de un dado.

Ahora hacemos lo mismo simulando el lanzamiento de un dado.

x=sample(1:6,1000, replace=T) 
pander(table(x))
1 2 3 4 5 6
147 174 166 152 192 169