6.6 Las leyes de los grandes números

“grandes números de individuos, actuando independientemente en un sistema, producen regularidades que no dependen de su coordinación mutua, de manera que es posible razonar sobre la colectividad sin ningún conocimiento detallado de los individuos”

— ‘Simeon Denis Poison’

En resumen: “No se puede predecir el comportamiento individual, pero si el comportamiento promedio”.

En 1837 Siméon-Denis Poisson publica su Investigación sobre la probabilidad de los juicios (Poisson 1837), una obra de más de 400 páginas, donde abunda en la temática contemplada por su maestro Laplace acerca de la composición más equitativa e imparcial para los jurados populares. Laplace había realizado cálculos y determinado, según ciertas condiciones, lo que él entendia como la composición más justa y la mayoría necesaria para los mismos. Sin embargo, no se había adentrado en las características o formación que debería exigírsele a los miembros de un jurado, algo que para Poisson resultaba imprescindible. Por otro lado, también expone que debe tenerse en cuenta la proporcionalidad del daño de una condena errónea, en el sentido de que la probabilidad del error debe ser tal que sea más peligroso para la seguridad de la sociedad la absolución de un culpable que la condena de un inocente.

Figura 6.26: Simeón Poisson, del que ya hablamos en el capítulo de probabilidades.

En esta obra, Poisson explica la ley de los grandes números (“la base de todas las aplicaciones del cálculo de las probabilidades”, según él mismo dice) a través de diversos ejemplos de su aplicación. Muchos tienen que ver con la extraña regularidad de múltitud de fenómenos físicos: los golpes de azar en juegos, regularidad en las mareas, la vida media de las personas. Fenómenos que, en principio, podrían parecer independientes, como los accidentes de un barco, que podrían depender del navío, del mar, de su país de procedencia (que influirían en la mejor o peor construcción) acaban presentando patrones de comportamiento en el tiempo que permiten precisamente aproximar la probabilidad de los mismos. La regularidad en los golpes de azar en los juegos de cartas, las mareas, los índices de mortalidad, los fallos condenatorios, los tipos de crímenes, son otros hechos en donde la regularidad se exhibe de forma similar a lo que Bernoulli había pronosticado en su ley de estabilidad de las frecuencias.

Pero no sólo en hechos de índoles física, sino también moral existe este mismo tipo de regularidad. Así, al igual que Bernoulli había pronosticado que la repetición de un experimento sirve para calcular una probabilidad de un suceso determinado, Poisson establece que las tasas de ocurrencia de sucesos de esta índole también aventuran las probabilidades. La comparación de los cocientes de acusados frente a juzgados en Francia y en Bélgica, bajo un sistema judicial similar, resultan casi idénticas. A lo largo de los años, se mantienen las diferencias entre los tipos de delitos, de las diferencias en las condenas de hombres a mujeres… De esta forma, por ejemplo, la proporción de condenados anualmente permitirá conocer de manera bastante exacta la probabilidad de ser condenado y bajo qué acusación. Por lo tanto, bajo la misma jurisprudencia, podrá también calcularse la proporción de condenas incorrectas, y esta jurisprudencia podrá alterarse paulatinamente para estar más acorde al desarrollo de la sociedad.

Poisson se muestra tan defensor de la ley de los grandes números que afirma que no sólo no hay que preocuparse por tal regularidad ni buscar la acción de una mano oculta, sino que más bien habrá que hacerlo cuando esa regularidad no se produzca.

Según una antigua tradición relacionada con discípulos de Newton, como por ejemplo De Moivre, la estabilidad de las frecuencias relativas era un signo de la acción de la Divina Providencia. Poisson pensaba que su teorema dejaba saldada la cuestión:

“Podría uno sentirse tentado a atribuir [la estabilidad estadístical a la intervención de un poder oculto, diferente de las causas fisicas o morales de los sucesos, y que obrara de alguna manera para mantener el orden; pero la teoría muestra que esa permanencia se da necesariamente, mientras no cambie la ley de la probabilidad de las causas relativas a cada clase de sucesos”. (Poisson 1837), pag. 144.

6.6.1 Las matemáticas

La ley de los grandes números viene a decir que (bajo ciertas condiciones generales) la media de \(n\) variables aleatorias \(X_1,X_2,...,X_n\) se aproxima a la media de las \(n\) medias \(\mu_1,\mu_2,...,\mu_n\) (donde \(\mu_i=E(X_i))\).

\[ \dfrac{X_1+X_2+...+X_n}{n}\longrightarrow \dfrac{\mu_1+\mu_2+...+\mu_n}{n}\] Si todas las variables tienen la misma media \(\mu\), entonces la media aritmética de las variables se aproxima al mismo valor.

Un caso particular de esta ley es el principio de estabilidad de las frecuencias, o teorema de Bernoulli, que ya hemos visto. Efectivamente, recordemos que una variable de Bernoulli es aquella que toma solo el valor 0 o 1 cuando no ocurre (u ocurre, respectivamente) un suceso \(A\) con probabilidades \(1-p\) y \(p\). Sumar \(n\) variables de Bernoulli es contar el número de veces que se repite el suceso \(A\) en \(n\) pruebas.

Una variable de Bernoulli tiene media \(p\) (cálculo muy sencillo). Luego la media de \(n\) medias sera también \(p\).

La ley de los grandes números generaliza este resultado a experimentos donde no necesariamente repetimos siempre la misma prueba (como en el caso anterior). \(X_1\) podría contar si ocurre un suceso \(A_1\) (de probabilidad \(p_1\)), \(X_2\) si ocurre un suceso \(A_2\) (de probabilidad \(p_2\) ), etc… con diferentes probabilidades cada uno. La ley de los grandes numeros establecerá la regularidad por cuanto la suma de frecuencias de ocurrencia de los sucesos tenderá a la media de las probabilidades (\(p_1, p_2,...\))

El mismo Poisson lo explica sencillamente en su obra citada anteriormente: “Supongamos que lanzamos al aire una moneda de cinco francos, y observamos que, en 2.000 tiradas, la moneda sale cara 1.100 veces. Entendemos que hay una frecuencia o probabilidad constante de que la moneda salga cara, esto es, 11/20. Esta constante es la consecuencia de una causa común, de la manera en que está hecha la moneda y de la manera de arrojarla. Pero supongamos ahora que tiramos 2.000 monedas diferentes y obtenemos 1.100 caras. No podemos imaginar que las monedas tengan constituciones idénticas. Las causas y, por lo tanto, las probabilidades de salir cara, variarán de un caso a otro.”

Muchos sucesos legales, sociales, de la moral y de las ciencias naturales son como el caso de las múltiples monedas. Cada viaje por mar es diferente. Poisson indicaba que un barco es atacado por un tifón, otro no, otro tiene un piloto incompetente y otro es atacado por piratas. No hay una causa constante que obre sobre los marinos, pero, sin embargo, existía un efecto constante, una proporción constante y demostrada de naufragios. Lo mismo ocurría con los jurados cuyos miembros varían en cuanto a sabiduría y prejuicios, pero que manifiestan un efecto general estable en las tabulaciones del Ministerio de justicia en cuanto a resultados prácticamente invariables de año a año.

References

Poisson, Siméon Denis. 1837. Recherches Sur La Probabilité Des Jugements En Matière Criminelle et En Matière Civile Precédées Des Règles Générales Du Calcul Des Probabilités Par Sd Poisson. Bachelier.