7.10 I.C. para la diferencia de medias

El intervalo de confianza para el parámetro diferencia de medias \(\mu_1 - \mu_2\) es:

\[ \left( (\bar{x}-\bar{y})\pm t_{n+m-2-\Delta ,\alpha /2}^{{}}\sqrt{ \frac{\hat{S}_{n-1}^{2}}{n}+\frac{\hat{S}_{m-1}^{2}}{m}}\right) , \] siendo \(\Delta\) el entero más próximo a (Corrección de Welch) \[ \frac{\left( (m-1)\frac{\hat{S}_{n-1}^{2}}{n}-(n-1)\frac{\hat{S}_{m-1}^{2}}{m }\right) ^{2}}{(m-1)\left( \frac{\hat{S}_{n-1}^{2}}{n}\right) ^{2}+(n-1)\left( \frac{\hat{S}_{m-1}^{2}}{m}\right) ^{2}}. \]

Uno de los dilemas que más trae de cabeza a los historiadores y antropólogos es si existen diferencias físicas y psicológicas (inteligencia, fuerza, carácter… ) entre la gente de derechas y de izquierdas. Hoy vamos a traer algo de luz a este tema, comparando las estaturas de famosos personajes históricos de izquierdas y de derechas.

Calcular un intervalo de confianza, al 95 por ciento, para la diferencia de estaturas medias, y razonar si alguno de los grupos puede considerarse más alto que el otro.
De derechas Estatura De izquierdas Estatura
Adolf Hitler 175 Boris Yeltsin 187
Rudolf Hess 175 Josif Stalin 168
Francisco Franco 163 Fidel Castro 191
Reinhard Heydrich 191 Nicolas Maduro 190
Benito Mussolini 169 Che Guevara 175
Donald Trump 188 Hugo Chavez 173
Joseph Goebbels 165 Lenin 165
Hermann Goering 178 Nikita Khruschev 160
Heinrich Himmler 174 Leonid Bhreznev 173
Jordi Pujol 165 Gorbachov 175
Jose Maria Aznar 171 Pablo Iglesias 176
Silvio Berlusconi 171 Evo Morales 174

Solución:

Calcular el intervalo de confianza a mano es bastante tedioso (lo dice uno que lo tuvo que hacer muchas veces), por culpa del valor \(\Delta\) que aparece en la fórmula. Los afortunados hijos de la era digital tenéis la suerte de contar con R o herramientas similares. Tan sencillo como poner los datos y una orden:

e1=c(175,175,163,191,169,188,165,178,174,165,171,171)
e2=c(187,168,191, 190,175,173,165,160,173,175,176,174)
t.test(e1,e2, conf.level=0.95)$conf.int
## [1] -9.566  5.899
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

Este es el procedimiento para realizar un test de comparación de medias. Ahora mismo nos interesa el intervalo de confianza, que es \((-9.56, 5.89)\). Como podemos ver, el intervalo de confianza contiene al cero, o sea que hay poca diferencia entre la estatura media de un grupo y otro. De todas formas, para tomar una decisión más acertada, desde el punto de vista estadístico, es mejor realizar un contraste de hipótesis.