4.5 Definiciones básicas

4.5.1 Espacio muestral

El conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio se llama espacio muestral. Se representa con la letra griega \(\Omega\).

4.5.2 Suceso elemental.

Se llama suceso elemental a cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el ejemplo del lanzamiento de un dado, cualquiera de los números del 1 al 6 es un suceso elemental.

4.5.3 Suceso.

Es un subconjunto del espacio muestral, \(A\subset \Omega\). Se dice que ocurre un suceso si ocurre alguno de los sucesos elementales que lo componen.

en el lanzamiento de un dado, el suceso \(A\)=salir número par={2,4,6}.
Representación de un suceso contenido en un espacio muestral.

Figura 4.8: Representación de un suceso contenido en un espacio muestral.

4.5.4 Diagramas de Venn

Son las representaciones gráficas (habitualmente con círculos) de sucesos y las posibles operaciones o relaciones entre ellos. Nos van a resultar muy útiles para entender las propiedades de las probabilidades de los sucesos.

Se dice de John Venn (lógico matemático, 1834-1923) que fue quién inventó la noción de frecuencia.

“La probabilidad de un suceso es su relativa frecuencia dentro de la serie” (La lógica del azar, 1866)

4.5.5 Suceso imposible.

Es el suceso que no puede ocurrir nunca. Como conjunto, es el conjunto vacío \(\varnothing\).

al lanzar un dado, \(\varnothing\)=“el resultado es 7, 8, o el número pi”.
la policía observa a un político corrupto, y este es cogido infraganti mientras entrega todo lo robado a Cáritas, o la mitad de lo robado, o la mitad de la mitad, o la mitad de…

4.5.6 Unión de sucesos

La Unión (de conjuntos o sucesos) \(A\cup B\) es el conjunto o suceso formado por los elementos que están en \(A\) o están en \(B\).

Diagrama de Venn de la unión de conjuntos.

Figura 4.9: Diagrama de Venn de la unión de conjuntos.

Supongamos la observación de un enfermo. Llamemos suceso \(A\) tener un hueso roto, y el suceso \(B\) estar resfriado. El suceso \(A\cup B\) consiste en que el enfermo puede tener un hueso roto, o estar resfriado, o tener ambas cosas a la vez.

Se puede generalizar a varios sucesos: \(A_1\) tener la enfermedad \(1\), \(A_2\) tener la enfermedad \(2\) y \(A_2\) tener la enfermedad \(n\). El suceso unión \(A_1\cup A_2 \cup ... \cup A_n\) sería tener una, dos, o varias enfermedades simultaneamente (pudiendo tenerlas todas).

4.5.7 Intersección de sucesos

\(A\cap B\) está formado por los elementos que están simultáneamente en \(A\) y en \(B\).

En el ejemplo anterior, la intersección de \(A_1\cap A_2 \cap ... \cap A_n\) sería tener simultaneamente TODAS las enfermedades (el enfermo sería un gafe, pero eso no es cosa nuestra).
Un estudiante acaba de aprobar la selectividad. Mirando la página web de la UDC, decide que quiere hacer dos dobles grados: el de español y gallego y el de inglés y español. La administrativa de la facultad de Filoloxía hace un diagrama de Venn y y ve que con matricularse en español, gallego e inglés por separado le llega.
Suceso A: doble grado en español y gallego. Suceso B: doble grado en inglés y español. Intersección: grado en español.

Figura 4.10: Suceso A: doble grado en español y gallego. Suceso B: doble grado en inglés y español. Intersección: grado en español.

"La ciencia es un juicio verdadero acompañado de razón", Platón.

Figura 4.11: “La ciencia es un juicio verdadero acompañado de razón”, Platón.

4.5.8 Sucesos incompatibles

Dos sucesos se dicen incompatibles si no pueden ocurrir simultaneamente (al lanzar un dado no puede salir un número par e impar a la vez). Dos sucesos son incompatibles si como conjuntos son disjuntos (\(A\cap B=\varnothing)\) (esta definición se extiende a más de dos sucesos o conjuntos).

Algunos ejemplos de sucesos incompatibles.

Figura 4.12: Algunos ejemplos de sucesos incompatibles.

Veamos ahora el concepto de “incompatibles” explicado por nada menos que el abogado (uno de ellos) de la infanta Cristina, cuando presentó como estrategia que la infanta no sabía nada de los negocios de su marido porque, al estar enamorada de él, confiaba en él ciegamente.

4.5.9 Diferencia de sucesos

\(A- B\) está formado por los elementos de \(A\) que no están en \(B\).

Diferencia de sucesos.

Figura 4.13: Diferencia de sucesos.

Si \(A\) es tener un hueso roto, y \(B\) estar resfriado, \(A-B\) es tener un hueso roto y NO estar resfriado. \(B-A\) sería estar resfriado Y no tener un hueso roto.

Supongamos que buscamos en Google información sobre el nuevo modelo de telefóno móvil de Chamchung: el Chamchung-Boom2. Una busqueda genérica podría ser escribir: Chamchung-Boom2 a secas.

Si queremos garantizar que salga información sobre el precio pondríamos Chamchung-Boom2 +precio que sería equivalente a la intersección de Chamchung-Boom2 y precio.

Si escribimos Chamchung Boom2 - Ifone le estamos indicando a Google que no aparezca en los resultados la palabra Ifone, puesto que muchos resultados van a ofrecer comparativas con el Ifone, y puede que eso no nos interese. Esto valdría como ejemplo de diferencia de sucesos.

4.5.10 Complementario de un suceso

El complementario de un suceso \(A\) se escribe \(A^{c}\) o \(\overline{A}.\) Corresponde al suceso formado por todos los elementos del espacio total \(\Omega\) que no están en \(A.\)

Se verifica que \(A\cap \overline{A}= \varnothing\) y \(A\cup \overline{A}= \Omega.\)

Al lanzar un dado, si el suceso \(A\) es que salga un número par, el suceso \(B\) es que salga número impar.
Suceso complementario.

Figura 4.14: Suceso complementario.


Pequeño resumen:

Diagrama de Venn con animales.

Figura 4.15: Diagrama de Venn con animales.

Diagrama de Venn de familias Cristianas.

Figura 4.16: Diagrama de Venn de familias Cristianas.

Para hacernos una idea de que los diagramas de Venn constituyen una herramienta muy utilizada, veamos un trozo de una película donde los citan (americana, lo cual significa que para ellos el uso de este tipo de diagramas es algo muy común). La escena pertenece a “The Town (2010)”.


A algunos es muy difícil ponerlos de acuerdo hasta con un diagrama de Venn.

Figura 4.17: A algunos es muy difícil ponerlos de acuerdo hasta con un diagrama de Venn.