4.13 Independencia de sucesos
Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro. Matemáticamente \(P(A\mid B)=P(A)\) y \(P(B\mid A)=P(B)\).
Podemos comprobar que la probabilidad de la intersección no coincide con el producto de las probabilidades. \[P(A\cap B)= \frac{58}{1000}= 0.058,\] mientras que \[P(A)\cdot P(B)= \frac{697}{1000}\cdot \frac{64}{1000} = 0.045\]
4.13.1 Regla del producto
Se conoce como regla del producto a la fórmula que establece la probabilidad de la intersección de, en general, \(n\) sucesos: \[P \left( A_1\cap A_2\cap ...\cap A_n \right) =\] \[=P \left( A_{1} \right)\cdot P \left( A_{2}\mid A_{1} \right)\cdot P \left( A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2} \right) \cdot P \left( A_{4}\mid A_{1} \cap A_{2}\cap A_{3}\right) \cdot \ldots \] \[\ldots \cdot P \left( A_{n}\mid A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n-1} \right),\]
que, como vemos, consiste en que la probabilidad de la intersección de \(n\) sucesos se calcula multiplicando las probabilidades sucesivas, pero condicionando cada suceso a que ocurran todos los inmediatamente anteriores.
Si los sucesos son independientes, la ocurrencia de cualquier suceso no influye en la probabilidad de ocurrencia del resto de sucesos, de manera que la fórmula es mucho más facil de recordar: \[P \left( A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n} \right) = P(A_1)\cdot P(A_2)\cdot ... \cdot P(A_n)\] ___
Ejercicio 4.4 La flauta de Bartolo (Homenaje a Tip y Coll).
Como dice la canción “Bartolo era un hombre que no tenía ni padres ni madres (era paupérrimo). Tan pobre que sólo tenía una flauta, tres balacios y dos cincuenta. Tan sólo pesaba 140 kilos (de los de antes de las guerras púnicas)”. ¿Cuál es la probabilidad de encontrarnos a alguien como Bartolo por la calle?- Solución:
Los sucesos a considerar en alguien como Bartolo serían: \(A_1 :\) =“no tener padre ni madre” \(A_2 :\) =“tener una flauta” \(A_3 :\) =“tener tres balacios” \(A_4 :\) =“tener dos cincuenta” \(A_5 :\) =“pesar 140 kilos”
Suponiendo que estos sucesos son independientes, la probabilidad de la intersección sería el producto de las probabilidades. Otra cuestión sería saber las probabilidades de cada uno de los \(A_i\). En algún caso será más alta o más baja (tener una flauta no es tan difícil, más difícil será tener tres balacios, suponemos)
Figura 4.26: Mayor dependencia, imposible.
Ejercicio 4.5 Mientras los adolescentes españoles se divierten los fines de semana practicando el noble arte del botellón, los rusos juegan a la ruleta que lleva su nombre (ruleta rusa). Por si existe alguien que no lo sepa, el juego consiste en meter una bala en un revólver, girar el tambor a lo loco y apuntarse a la cabeza. Cada vez que se dispara (y no hay bala), el tambor gira una posición, de manera que la bala se irá acercando más a la posición de disparo. Gana el que se muere (es que los rusos son todos igual de valientes que Putin).
Supongamos que nos toca jugar con otros cinco jugadores (los revólveres que se usan suelen tener seis balas). ¿En qué posición debemos colocarnos para jugar y tener la mayor (o menor) probabilidad de que salga la bala cuando nos toque dispararnos?Independientemente del cálculo de las probabilidades de supervivencia de cada uno de los jugadores, podemos realizar un experimento de simulación:
Cada uno de los jugadores, desde el primero al último en disparar, tiene asignado un número del 1 al 6. Cuando se introduce la bala en la recámara del revólver y se hace girar el tambor, la bala queda colocada en la posición 1,2,3,4,5 o 6. Como se va a ir disparando sucesivamente (hasta que salga la bala), el jugador cuya posición coincida con la posición de la bala va a ser el que reciba el disparo.
Así pues, en vez de realizar un experimento con jugadores vivos y balas (que además de necesitar muchas personas y ataúdes, sería ilegal; no sé en Rusia pero aquí sí), podemos hacerlo con R. Cada juego de la ruleta rusa es tan sencillo como lanzar un dado, y el número del 1 al 6 que salga es la posición en que queda la bala, y por tanto el número del jugador que va a recibir el disparo. Por lo tanto, podemos replicar el juego 1000 veces, por ejemplo, igual que hemos hecho antes con el lanzamiento de un dado.
x=sample(1:6,1000, replace=T)
y=table(x)
pander(y)| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| 175 | 158 | 175 | 150 | 157 | 185 |
Como vemos, todos los jugadores, a la larga, tienen la misma probabilidad de recibir un disparo
Solución numérica
Llamemos \(M_{i}\)=el jugador en posición \(i\) recibe el disparo (muere) y \(A_{i}\)=la bala sale en el disparo \(i\).
\(P(\text{el primero muere})=P(M_{1})=P(A_1)=1/6.\)
\[ P(\text{el segundo muere})=P(M_2)=P( \overline{A_1}\cap A_{2})=P(\overline{A_1})\cdot P(A_{2}\mid \overline{A_1})=\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{6}. \] \[ P(M_3)=P(\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap A_3)= P(\overline{A_1})\cdot P(\overline{A_2} \mid \overline{A_1})\cdot P(A_3\mid \overline{A_1}\cap \overline{A_2})=\frac{5}{6}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{6}. \]
De igual manera se calculan las otras probabilidades, y todas son iguales a 1/6.