7.5 I.C. para la media de una población normal con varianza conocida

El objetivo es construir un intervalo de confianza para la media \(\mu\) de una población normal (altura media, peso medio, tiempo medio de conexión a Internet, …)

Tomamos entonces la variable \(X\in N(\mu,\sigma)\), que representa a dicha característica. Supongamos que \(\sigma\) es conocida.

Consideramos una muestra aleatoria simple \(X_1,\ldots,X_n\) de la variable \(X\). Dado el nivel de confianza \(1-\alpha\), elegimos el estadístico pivote \[ T=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\in N(0,1) \] Teniendo en cuenta que \(\frac{\alpha}{2} =P(Z\geq z_{\alpha/2})\), sabemos que

\[ 1-\alpha=P\left( -z_{\alpha /2}<\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n} }< z_{\alpha /2}\right) \]

Despejando el parámetro \(\mu\) obtenemos \[ 1-\alpha=P\left( \bar{X}- z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}<\mu <\bar{X}+ z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right) \] Por tanto, el I.C. para \(\mu\) al nivel de confianza \(1-\alpha\)} es \[ (L,U)=\left(\bar{X}-z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{ X}+\text{ } z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right) \]

*Retomamos el Ejercicio 1.**

En una clínica de fisioterapia se quiere saber el número de grados que acaba doblando una rodilla después de dos semanas de tratamiento. Las medidas de 10 pacientes fueron \[41.60, 41.48, 42.34, 41.95, 41.86, 42.41, 41.72, 42.26, 41.81, 42.04.\]

Aceptando que la variable aleatoria \(X\)=“grados que dobla la rodilla” sigue una distribución normal, y suponiendo que \(\sigma=0.30\) grados,

  1. Obtener un intervalo de confianza para la temperatura media al nivel del 90%.

  2. Deduce el tamaño muestral necesario para conseguir un intervalo de confianza al 99%, con un error menor o igual que 0.05.
  • Solución
  1. Sabemos que \(\sigma=0\).\(3\) y \(n=10\)

La media muestral es \(\bar{x}=\dfrac{1}{n}{{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}}x_i}=\dfrac{419.47}{10}=41.947\)

El I.C. para \(\mu\) al nivel de confianza \(1-\alpha\) es:

\[ \left(\bar{x}- z_{\alpha /2}\dfrac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{x}+\text{ } z_{\alpha /2}\dfrac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)=\left(41.947\pm z_{\alpha /2}\dfrac{0.3}{\sqrt{10}}\right) \]

donde el valor \(z_{\alpha /2}=1.645\) se puede obtener como

qnorm(0.1/2)
## [1] -1.645

es decir, calculamos el cuantil de una normal (por defecto los parámetros \(0\) y \(1\) no hace falta escribirlos) mediante qnorm.

El I.C. para \(\mu\) al \(95\%\) es, entonces:

\[ (41.947\pm 1.96\cdot \frac{0.3}{\sqrt{10}})=(41.947\pm 0.186 )= (41.761, 42.133 ) \]

  1. El intervalo de confianza es de la forma \[\left(\bar{x}- z_{\alpha /2}\cdot \dfrac{\sigma }{\sqrt{n}},\ \bar{x}+ z_{\alpha /2}\dfrac{\sigma }{\sqrt{n}} \right)\]

, que, como vemos, tiene de punto medio la media aritmética.

Esto quiere decir que, con una probabilidad \(1-\alpha\) el parámetro verdadero (\(\mu\)) está dentro de ese intervalo; es decir que la distancia entre \(\mu\) y \(\bar{x}\) es, como mucho, \(z_{\alpha /2}\cdot\dfrac{\sigma }{\sqrt{n}}\).

Esto es, el error de estimación es: \[|\bar{x}-\mu| \leq z_{\alpha /2}\cdot \dfrac{\sigma }{\sqrt{n}} \]

Si queremos calcular el tamaño muestral necesario para que el error sea menor o igual a una cantidad \(e\) (0.05 en este caso), hacemos

\[ z_{\alpha /2}\cdot \dfrac{\sigma }{\sqrt{n}}\leq e\iff n\geq \dfrac{ z _{\alpha /2}^{2}\cdot \sigma ^{2}}{e^{2}}= \left(\dfrac{1.96 \cdot 0.3}{0.05}\right)^2=138.298 \]

Hay que tomar entonces \(n=139\) mediciones.

Fijémonos en que, si quisiésemos -con la misma confianza- obtener un error la mitad de pequeño (\(e/2\)), la fórmula que obtenemos es \[ n\geq \frac{ z _{\alpha /2}^{2}\cdot \sigma ^{2}}{(e/2)^{2}}= 4\times \dfrac{ z _{\alpha /2}^{2}\cdot \sigma ^{2}}{e^{2}}, \] es decir, habría que tomar una muestra 4 veces más grande.

Regla de la raiz de n: “si quieres multiplicar la exactitud de una investigación, no basta con duplicar el esfuerzo, debes multiplicarlo por 4”.

‘S. Stigler (Stigler 1986)

Bibliografía

Stigler, Stephen M. 1986. The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty Before 1900. Harvard University Press.