7.7 Intervalo de confianza para la desviación típica

(Para la varianza, simplemente se elevan los valores al cuadrado).

7.7.1 Conociendo la media

$$\left( \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{\chi _{n,\alpha /2}^{2}}} \ ,\ \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{\chi _{n,1-\alpha /2}^{2}}} \right)$$ siendo $\chi _{n,\alpha /2}^{2}$ el valor de una Chi-cuadrado con $n$ grados de libertad que deja a la derecha $\alpha /2$ de área.

7.7.2 Desconociendo la media

$$\left( \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{\chi _{n-1,\alpha /2}^{2}}}\ ,\ \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}^{2}}}\right) =$$

$$=\left( \sqrt{\frac{(n-1)\hat{S}_{n-1}^{2}}{\chi _{n-1,\alpha /2}^{2}}}, \sqrt{\frac{(n-1)\hat{S}_{n-1}^{2}}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}^{2}}}\right) =\left( \sqrt{\frac{n\hat{S}_{n}^{2}}{\chi _{n-1,\alpha /2}^{2}}},\sqrt{ \frac{n\hat{S}_{n}^{2}}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}^{2}}}\right) ,$$ siendo $\chi _{n-1,\alpha /2}^{2}$ el valor de una Chi-cuadrado con $n-1$ grados de libertad que deja a la derecha $\alpha /2$ de área.

7.7.3 I.C. para una proporción

El objetivo es construir un intervalo de confianza para la proporción de elementos {$p$}} de una población que poseen una determinada característica (votantes de un partido político, alumnos que usan una determinada red social, elementos defectuosos, …) a partir de una muestra aleatoria simple de la población.

De esta forma, consideramos la variable

$X$	$P(X=x_{i})$
$0$	$1-p$
$1$	$p$

Es decir, la variable aleatoria que toma los valores $1$ y $0$ ($1$ si tiene la característica con probabilidad $p$, $0$ si no la tiene)

Tomamos entonces una muestra aleatoria simple $X_1,\ldots,X_n$ de la variable $X\in B(1,p)$

Dado el nivel de confianza $1-\alpha$, elegimos el estadístico pivotal que $$T=\frac{\widehat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\approx N(0,1)$$

Teniendo en cuenta que $\frac{\alpha}{2} =P(Z\geq z_{\frac{\alpha}{2}})$, sabemos que $$1-\alpha \approx P\left( - z_{\alpha /2}<\frac{\widehat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}< z_{\alpha /2}\right)$$

Despejando obtenemos el intervalo $$\left( \widehat{p}- z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{ p\cdot (1- p)}{n}}\ ,\ \widehat{p}+ z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{ p \cdot(1- p )}{n}}\right)$$ Puesto que $p$ es desconocido, en la práctica lo sustituiremos por $\widehat{p}$ o por $0.5$ (el valor que da lugar a un I.C. con longitud máxima).

Si sustituimos $p$ por $\widehat{p}$, obtenemos el intervalo de confianza

$$\left( \widehat{p}- z_{\alpha /2 }\sqrt{\frac{\widehat{p}(1-{\widehat{p}})}{n}} \ , \ \widehat{p}+ z_{\alpha /2} \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-{\widehat{p}})}{n}}\right).$$

Si sustituimos $p$ por $0.5$, obtenemos el intervalo de confianza

$$\left(\widehat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{4n}}\text{ },\text{ } \widehat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{4n}}\right).$$

Al finalizar un ensayo clínico para un trabajo fin de master, la profesora Chifuentes dispuso de una m.a.s. de $100$ pacientes, de las cuales $7$ dijeron no haber notado mejoría. Determinar un intervalo de confianza (con un nivel de confianza aproximado del $99\%$) para $p$, proporción de pacientes que notan mejoría en la población en general.

¿Qué tamaño muestral $n$ recomendarías para que la longitud del intervalo de confianza (con un nivel de confianza aproximado del $95\%$) para la proporción $p$ fuera inferior a $0.01$ unidades?

• Solución:

Tenemos que $n=100$ pacientes y que la proporción muestral es $\hat{p}=\dfrac{93}{100}=0.93$

El I.C. para p al nivel de confianza aproximado $1-\alpha$ es: $$\left( \widehat{p}- z_{\alpha /2 }\sqrt{\frac{ p \cdot (1- p )}{n}} \ , \ \widehat{p}+ z_{\alpha /2 }\sqrt{\frac{ p \cdot (1- p )}{n}}\right)$$

Tenemos dos opciones:

Primera opción: aproximar $p$ por $\hat{p}$. $$\left(0.93\pm 2.575{\sqrt{\dfrac{0.93\times 0.07}{100}}}\right)=\left(0.93\pm 0.0657 \right)=\left(0.8643,0.9957\right)$$

Segunda opción: aproximar $p$ por $0.5$. $$\left(0.93\pm 2.575{\sqrt{\dfrac{1}{400}}}\right)=\left(0.93\pm {0.1275}\right)=\left(0.8025,1.0575\right)$$

7.7.3.1 Cálculo del tamaño muestral necesario para obtener una cierta precisión

Sea $L$ la longitud máxima del intervalo.

$$2\cdot z_{\alpha /2 }{\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}}\leq L\iff n\geq \dfrac{ 4p(1-p) z_{\alpha /2}^{2} }{L^{2}}=4p(1-p)\left(\dfrac{1.96}{0.01}\right)^2$$ Tenemos dos opciones:

Primera opción: aproximar $p$ por $\hat{p}=0.93$.

En este caso obtenemos que $n\ge 10003.53$. Hay que preguntarle a 10004 pacientess.

Segunda opción: aproximar $p$ por $0.5$.

En este caso obtenemos que $n\ge 38416$ pacientess.

7.7.4 Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones.

Ahora suponemos dos poblaciones en donde se considera la misma característica $A.$ $p_{1}$ es la proporción de elementos con dicha característica en la primera población, y $p_{2}$ es la proporción en la segunda población. Se toma una muestra de tamaño $n_{1}$ de la primera población y otra de tamaño $n_{2}$ en la segunda, y se calculan las respectivas proporciones muestrales $\hat{p_{1}}$ y $\hat{p_{2}}$. El intervalo de confianza para la diferencia $p_{1}-p_{2}$ es $$\left( (\hat{p_{1}}-\hat{p_{2}})\pm Z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{\hat{p_{1}}(1-\hat{p_{1}})}{n_{1}}+\frac{\hat{p_{2}}(1-\hat{p_{2}})}{n_{2}}}\right) .$$

Análogamente al caso anterior, se puede considerar el intervalo más largo posible: $$\left( (\hat{p_{1}}-\hat{p_{2}})\pm Z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{1}{4n_{1}}+% \frac{1}{4n_{2}}}\right) .$$