8.1 Variabilité de la variance

L’idée de la crédibilité linéaire de Bühlmann était de pouvoir exprimer la prime prédictive des modèles bayésiens sous une forme linéaire, de sorte à avoir:

$$p_{T+1} = \mathsf{Z} \overline{S} + (1-\mathsf{Z}) E[\mu(\Theta)].$$

avec:

$$\mathsf{Z} = \frac{T}{K + T}, \text{ où } K = \frac{\Sigma^2}{M^2} = \frac{E[\sigma^2(\theta_i)]}{Var[\mu(\Theta)]}$$

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Tous les modèles bayésiens ne peuvent être adéquatement approximés par cette approche car une troisième condition avait aussi été énoncée:

3. La variance de la variable aléatoire $S_t|\Theta=\theta$ est constante pour tous $t=1,...,T$.

Comme nous le verrons dans ce chapitre, plusieurs applications pratiques correspondent à cette situation.

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Exemple 8.1 Supposons que nous évaluons 2 groupes d’assurés en assurance collective:

1. Le groupe $A$ contient 3 véhicules, et chaque véhicule du groupe est affecté par la même hétérogénéité $\theta_A$;

2. Le groupe $B$ contient 2 véhicules, affectés par la même hétérogénéité $\theta_B$.

On considère un groupe comme un assuré, et on veut estimer les primes de crédibilité de chaque groupe. Trouvez l’espérance et la variance conditionnelles de chaque groupe.

(Exemple à faire en classe)

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L’idée de normaliser et d’introduire un poids, qu’on notera $W_{i,t}$ (pour le $t^e$ contrat de l’assuré $i$), dans le modèle est de pouvoir comparer l’expérience de sinistres de différents assurés afin qu’ils soient du même ordre de grandeur. Dans notre exemple, puisqu’il y avait 3 individus dans le groupe $A$, il est normal de s’attendre à ce qu’il ait plus de réclamations que le groupe B.

En normalisant la variable aléatoire $S_A$ et $S_B$ par le nombre d’individus dans le groupe, nous avons vu que les deux nouvelles variables aléatoires $Y_A$ et $Y_B$ ont maintenant la même prime de risque. Par contre, ils n’ont pas la même variance conditionnelle.

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La crédibilité de Bühlmann proposait une manière d’approximer les modèles de crédibilité bayésienne. Le modèle de Bühlmann-Straub a le même objectif: approximer les modèles de crédibilité bayésienne dans lesquels il y a maintenant une pondération pour chaque observation.

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Plus précisément, dans le modèle de Bühlmann:

• Les sinistralités des contrats annuels de tous les assurés sont comparables;

• Pour un seul assuré, la sinistralité de ses contrats passés ont tous le même poids dans le calcul de la prime future.

Le modèle de Bühlmann-Straub a l’objectif de généraliser ces hypothèses.

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La taille, ou le poids $W$ d’un assuré ou d’une police peut représenter plusieurs éléments:

1. Le nombre de véhicules assurés, comme pour le dernier exemple;

2. Le nombre de personnes assurées, comme pour un employeur qui aurait plusieurs employés, ou encore une ferme ayant plusieurs structures à assurer;

3. La prime a priori calculée en fonction des caractéristiques du risque de l’assuré.

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8.1.1 Hypothèses du modèle

Plus généralement, nous aurons:

1. Un portefeuille de $m$ assurés ($i=1,2,...,m$) dont l’expérience a été observée pendant $T$ périodes ($t=1,...,T$);

2. Les $\Theta$ pour $i=1,\ldots,m$, représentant l’hétérogénéité d’un assuré $i$, sont indépendants et identiquement distribués;

3. Les variables aléatoires conditionnelles $S_{i,t}|\Theta = \theta$ représentant la sinistralité de l’assuré $i$, au contrat $t$, sont indépendantes pour $t=1,...,T$ et $i=1,\ldots, m$;

4. Une sinistralité normalisée pour le $t^e$ contrat de l’assuré $i$ est introduite. Elle correspond à:

$$Y_{i,t} = \frac{S_{i,t}}{W_{i,t}}$$

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On ne travaillera plus directement avec la sinistralité $S_{i,t}$, mais avec une sinistralité normalisée $Y_{i,t}$, et ce sera cette dernière qui sera crédibilisée.

Nous aurons ainsi:

• $E[Y_{i,t}|\Theta] = \mu(\Theta)$, qui est constante dans le temps et ne dépend pas de $t$. Ceci est causé par la normalisation de la sinistralité. C’est un résultat important dans le modèle car nous avons l’égalité suivante:

$$E[Y_{i,1}|\Theta] = E[Y_{i,2}|\Theta] = \ldots = E[Y_{i,t}|\Theta] = \mu(\Theta)$$

• $Var[Y_{i,t}|\Theta] = \frac{\sigma^2(\Theta)}{W_{i,t}}$. A l’inverse de l’espérance, la variance conditionnelle peut varier dans le temps, et à travers les assurés $i$ tel que nous venons de le voir dans l’exemple précédent. Par contre, $Var[Y_{i,t}|\Theta] \times W_{i,t} = \sigma^2(\Theta)$ sont comparables:

$$Var[Y_{i,1}|\Theta] \times W_{i,1} = Var[Y_{i,2}|\Theta] \times W_{i,2} = \ldots = Var[Y_{i,t}|\Theta] \times W_{i,t} = \sigma^2(\Theta)$$

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Exemple 8.2 Reprenons l’exemple précédent des 2 groupes d’assurés en assurance collective.

1. Vérifiez que $E[Y_{1}|\Theta] = E[Y_{2}|\Theta] = \mu(\Theta)$

2. Vérifiez que $Var[Y_{1}|\Theta] W_1 = Var[Y_{2}|\Theta] W_2 = \sigma^2(\Theta)$

(Exemple à faire à la maison)

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8.1.2 Notations

Nous utilisons toujours la notation suivante, similaire au modèle de crédibilité de Bühlmann:

$$\begin{eqnarray*} \mu &=& E[\mu(\Theta)] = E[E[Y_{i,t}|\Theta]]\\ \Sigma^2 &=& E[\sigma^2(\Theta)] = W_{i,t} E[Var[Y_{i,t}|\Theta]]\\ M^2 &=& Var[\mu(\Theta)] = Var[E[Y_{i,t}|\Theta]] \end{eqnarray*}$$

Notez encore une fois que nous travaillons sur la variable aléatoire normalisée $Y_{i,t}$ et non sur $S_{i,t}$.

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Pour construire le modèle, nous avons besoin de généraliser la notation de certains termes. Nous avons ainsi:

• $\mathbf{Z}_i$, la crédibilité accordée à l’expérience de l’assuré $i$;

• $W_{i,t}$, le poids accordé à l’assuré $i$ pour sa période d’assurance $t$;

• $S_{i,t}$, la sinistralité de l’assuré $i$ pour sa période d’assurance $t$;

• $W_{i,\bullet} = \sum_{t=1}^T W_{i,t}$, la somme des poids de l’assuré $i$ pour toutes ses périodes d’assurance;
  

• $S_{i,\bullet} = \sum_{t=1}^T S_{i,t}$, la somme de la sinistralité de l’assuré $i$ pour toutes ses périodes d’assurance;

• $Y_{i,t} = \tfrac{S_{i,t}}{W_{i,t}}$, la sinistralité normalisée de l’assuré $i$ pour sa période d’assurance $t$.

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Pour le portefeuille en entier, nous introduisons aussi de nouvelles variables:

$$\begin{align*} \mathbf{Z}_{\bullet} &= \sum_{i=1}^m \mathbf{Z}_i\\ W_{\bullet,\bullet} &= \sum_{i=1}^m W_{i,\bullet} \end{align*}$$

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Le modèle de Bühlmann cherchait à approximer la prime bayésienne de $S_{i,T+1}$ par la forme linéaire

$$p_{i,T+1}^{(S)} = \mathsf{Z} \times \overline{S_{i}} + b$$

en se basant sur l’expérience de sinistre moyenne $\overline{S_{i}}$.

Il ne fait pas de sens de travailler avec $\overline{S_{i}}$ pour le modèle de Bühlmann-Straub car le modèle ne travaille plus directement avec $S_{i,t}$, mais plutôt avec une sinistralité normalisée $Y_{i,t}$.

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Nous noterons ainsi la sinistralité moyenne pondérée comme:

$$Y_{i,W} = \frac{S_{i,\bullet}}{W_{i,\bullet}} = \frac{\sum_{t=1}^T S_{i,t}}{W_{i,\bullet}} = \frac{\sum_{t=1}^T W_{i,t} Y_{i,t}}{W_{i,\bullet}} = \sum_{t=1}^T \frac{W_{i,t}}{W_{i,\bullet}}Y_{i,t}$$

Nous noterons la sinistralité moyenne du portefeuille comme:

$$Y_{W,W} = \frac{\sum_{i=1}^m \sum_{t=1}^T S_{i,t}}{\sum_{i=1}^m W_{i,\bullet}} = \frac{\sum_{i=1}^m \sum_{t=1}^T W_{i,t} Y_{i,t}}{W_{\bullet,\bullet}} = \sum_{i=1}^m \sum_{t=1}^T \frac{W_{i,t}}{W_{\bullet,\bullet}}Y_{i,t} = \sum_{i=1}^m \frac{W_{i,\bullet}}{W_{\bullet,\bullet}}Y_{i,W}$$

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La forme de la prime de crédibilité de Bühlmann-Straub est ainsi:

$$p_{i,T+1}^{(Y)} = \mathsf{Z}_i \times Y_{i,W} + b_i.$$

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La prédiction linéaire est ainsi faite sur la sinistralité normalisée. Ainsi, pour résumer un élément important:

• Le modèle de crédibilité de Bühlmann: la valeur $p_{i,T+1}^{(S)}$ cherche à approximer la sinistralité $S$,

• Le modèle de crédibilité de Bühlmann-Straub: la valeur $p_{i,T+1}^{(Y)}$ cherche à approximer la sinistralité normalisée $Y$.

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Proposition 8.1 Les paramètres $\mathsf{Z_i}$ et $b_i$ qui minimisent la fonction $E[(p_{i, T+1}^{(Y)} - Y_{i, T+1})^2]$ sont:

$$\begin{eqnarray*} \mathsf{Z}_i &=& \frac{Cov[Y_{i,W}, Y_{i, T+1}]}{Var[Y_{i,W}]}, \ \text{ et } \ b = (1-\mathsf{Z}_i) \mu \end{eqnarray*}$$

et la prime $p_{i,T+1}$ s’exprime comme:

$$p_{i,T+1}^{(Y)} = \mathsf{Z}_i \times Y_{i,W} + (1-\mathsf{Z}_i) \mu$$

(Développement à faire en classe)

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Proposition 8.2 Puisque $p_{i,T+1}^{(Y)}$ approxime la sinistralité future normalisée, l’approximation de la sinistralité future $S_{i,T+1}$ du modèle de Bühlmann-Straub, notée $p_{i,T+1}^{(S)}$, correspond à la prime de crédibilité normalisée multipliée par le poids de l’assuré $i$ au temps $T+1$:

$$p_{i,T+1}^{(S)} = p_{i,T+1}^{(Y)} \times W_{i,T+1}$$

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8.1.3 Paramètres de structure

Proposition 8.3 La covariance entre la moyenne pondérée de la sinistralité normalisée et la prime de risque s’exprime comme:

$$Cov[Y_{i,W}, Y_{i, T+1}] = Var\left[\mu(\Theta) \right] = M^2$$

(Développement à faire en classe)

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Proposition 8.4 La variance de la moyenne pondérée de la sinistralité normalisée s’exprime comme:

$$Var[Y_{i,W}] = \frac{1}{W_{i \bullet}} \Sigma^2 + M^2$$

(Développement à faire en classe)

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Proposition 8.5 Le facteur de crédibilité pour la $i^e$ police est:

$$\begin{eqnarray*} \mathbf{Z}_i &=& \frac{Cov[Y_{i,W}, \mu(\Theta)]}{Var[Y_{i,W}]}\\ &=& \frac{M^2}{\frac{1}{W_{i \bullet}} \Sigma^2 + M^2} \\ &=& \frac{W_{i \bullet}}{W_{i \bullet} + K} \text{ où } K = \frac{\Sigma^2}{M^2} \end{eqnarray*}$$

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Proposition 8.6 Le modèle de Bühlmann-Straub est équivalent au modèle de Bühlmann si $W_{i,t} =1$ pour tous les contrats $t$ de tous les assurés $i$.

(Exemple à faire en classe)

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Étant donné que l’approche de Bühlmann-Straub n’est qu’une généralisation de la crédibilité de Bühlmann, plusieurs des analyses que nous avons déjà faites tiennent encore. Par exemple, l’analyse du coefficient de crédibilité, en fonction de $\Sigma^2$ et $M^2$ est la même. Par contre, au lieu d’analyser le comportement du coefficient $\mathbf{Z}$ en fonction de $T$ comme dans le modèle de Bühlmann, on l’analysera en fonction de $W_{\bullet}$.

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Exemple 6.1 On suppose que le coût total des réclamations annuelles d’un groupe pour son contrat $t$ suit une loi normale de moyenne $n_t \times \Theta$ et de variance $n_t \times 15,000^2$, où $n_t$ est le nombre de véhicules dans le groupe. Formellement, nous avons ainsi :

$$S_{t} |\Theta = \theta \sim Normal(n_t \times \theta, n_t \times 15,000^2).$$

Les actuaires pensent qu’il existe 3 types d’assurés dans le portefeuille:

$$\begin{eqnarray*} \Pr(\Theta = \theta) = \begin{cases} 0.2, \ \text{pour } \theta=750\\ 0.3, \ \text{pour } \theta=1250\\ 0.5, \ \text{pour } \theta=1800\\ \end{cases}, \end{eqnarray*}$$

Un assuré a été observé pendant 3 contrats annuels, et cherche à s’assurer pour une 4e année. Les sinistres réclamés et le nombre de véhicules $n_t$ pour les années $t=1,2,3,4$ sont:

Année ($t$)	$n_t$	$s_t$
$1$	$100$	$120,000$
$2$	$120$	$93,000$
$3$	$75$	$99,000$
$4$	$120$	?

A l’aide de l’approche de Bühlmann-Straub, répondez aux questions suivantes:

1. Calculez la prime a priori de ce groupe au temps $t=4$;
2. Calculez la valeur du coefficient $\mathsf{Z}$ au temps $T=4$;
3. Trouvez la prime de crédibilité du modèle de Bühlmann-Straub pour l’année 4;
4. Comparez les résultats obtenus avec un calcul bayésien.

(Exemple à faire en classe)

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8.1.4 Estimateurs des paramètres de structures

Proposition 8.7 Les estimateurs suivants de $\mu, \Sigma^2$ et $M^2$ sont sans biais:

$$\begin{eqnarray*} \hat{\mu} &=& \sum_i^m \frac{W_{i, \bullet}}{W_{\bullet, \bullet}} Y_{i, W} = Y_{W, W} \\ \widehat{\Sigma^2} &=& \frac{1}{m (T-1)} \sum_{i=1}^{m} \sum_{t=1}^{T} W_{i,t}(Y_{i,t} - Y_{i,W})^2 \\ \widehat{M^2} &=& \frac{W_{\bullet, \bullet}}{W_{\bullet, \bullet}^2 - \sum_i^m W_{i, \bullet}^2} \left( \sum_{i=1}^{m} W_{i, \bullet} (Y_{i, W} - Y_{W,W})^2 - (m-1) \widehat{\Sigma^2} \right) \end{eqnarray*}$$

Solution

La preuve se fait facilement en suivant les mêmes étapes que pour le modèle de Bühlmann.

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Exemple 8.3 Calculez les primes de crédibilité pour la 4e année des deux groupes dont l’expérience est décrite dans le tableau suivant:

Groupe	Statistique	An 1	An 2	An 3	An 4
1	Montant des réclamations	8000	11,000	15,000	.
	Taille du groupe	40	50	70	75
2	Montant des réclamations	20,000	24,000	19,000	.
	Taille du groupe	100	120	115	95

(Développement à faire en classe)

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8.1.4.1 Base de données non-équilibrée

Dans le chapitre sur le modèle de Bühlmann, nous avions vu qu’une base de données équilibrée correspondait à la situation où tous les assurés $i=1,\ldots,m$ sont observés pendant le même nombre de contrats. Dans la table ci-dessous, on observait tous les $m$ assurés pendant $T$ contrats.

Assuré	Contrat 1	Contrat 2	…	Contrat T
1	$s_{1,1}$	$s_{1,2}$	…	$s_{1,T}$
2	$s_{2,1}$	$s_{2,2}$	…	$s_{2,T}$
…	…	…	…	…
$m$	$s_{m,1}$	$s_{m,2}$	…	$s_{m,T}$

En pratique, les données des assureurs ne sont pas équilibrées.

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Proposition 8.8 Dans le cas de données non-équilibrées, les estimateurs $\hat{\mu}$ et $\widehat{M^2}$ restent les mêmes, mais l’estimateur de $\sigma^2$ s’exprime comme:

$$\widehat{\Sigma^2} = \frac{1}{\sum_{i=1}^{m} (T_i - 1)} \sum_{i=1}^{m} \sum_{t=1}^{T} W_{i,t}(Y_{i,t} - Y_{i, W})^2$$

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Exemple 8.4 Calculez les primes de crédibilité pour l’année $2016$ des deux flottes de véhicules suivantes, dont l’expérience est décrite ici:

Flotte	Statistique	2015	2014	2013	2012
1	Nombre de sinistres	3	2	2	0
	Nombre de véhicules	2	2	2	1
2	Nombre de sinistres	2	1	0	.
	Nombre de véhicules	4	3	2	.

(Développement à faire en classe)

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