4.6 Exponentiel-gamma

Un autre couple connu de distributions conjuguées est \(S_t|\Theta = \theta \sim Exponentiel(\theta)\), avec \(\Theta \sim gamma(\alpha, \tau)\). Nous aurions ainsi la fonction de probabilité et la fonction de densité suivante:

\[ \underbrace{f_{S_t}(s_t|\Theta=\theta) = \theta e^{-s_t \theta}}_{\text{Distribution conditionnelle}}, \text{ pour } s_t > 0, \ \ \ \]

\[ \underbrace{f(\theta) = \frac{\tau^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \theta^{\alpha - 1} e^{-\tau \theta}}_{\text{Distribution a priori}}, \text{ pour } \theta > 0, \text{ et } \alpha > 1, \tau > 0.\]

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Exercice 4.7 Montrez que:

1. La distribution marginale de \(S_t\) est \(Lomax(\alpha, \tau)\), aussi connue sous le nom de la distribution Pareto de type II, dont la fonction de densité de \(S_t\) s’exprime comme:

\[f_{S_t}(s_t) = \left(\frac{\tau}{\tau + s_t}\right)^{\alpha} \frac{\alpha}{\tau + s_t}, \text{ pour } s_t > 0 \text{ et } \alpha > 1, \tau > 0. \]

2. La distribution a posteriori de \(\Theta|S_1=s_1, \ldots, S_T = s_T\) est une gamma de paramètres \(\alpha^* = \alpha + T\) et \(\tau^* = \tau + s_{\bullet}\).

3. La distribution prédictive de \(S_{T+1}|S_1=s_1, \ldots, S_T = s_T\) est \(Lomax(\alpha^*, \tau^*)\), pour \(s_t > 0\) et \(\alpha > 1, \tau > 0\).

(Exemple à faire à la maison)

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Exercice 4.8 Trouvez les primes suivantes:

1. La prime de risque;
2. La prime collective;
3. La prime prédictive au temps \(t=T\);
4. La prime chargée à un nouvel assuré;
5. Le coefficient de crédibilité \(\mathsf{Z}\) pour la prime de crédibilité.

(Exemple à faire en classe)

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