4.6 Exponentiel-gamma

Un autre couple connu de distributions conjuguées est $S_t|\Theta = \theta \sim Exponentiel(\theta)$, avec $\Theta \sim gamma(\alpha, \tau)$. Nous aurions ainsi la fonction de probabilité et la fonction de densité suivante:

$$\underbrace{f_{S_t}(s_t|\Theta=\theta) = \theta e^{-s_t \theta}}_{\text{Distribution conditionnelle}}, \text{ pour } s_t > 0, \ \ \ $$

$$\underbrace{f(\theta) = \frac{\tau^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \theta^{\alpha - 1} e^{-\tau \theta}}_{\text{Distribution a priori}}, \text{ pour } \theta > 0, \text{ et } \alpha > 1, \tau > 0.$$

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Exercice 4.7 Montrez que:

1. La distribution marginale de $S_t$ est $Lomax(\alpha, \tau)$, aussi connue sous le nom de la distribution Pareto de type II, dont la fonction de densité de $S_t$ s’exprime comme:

$$f_{S_t}(s_t) = \left(\frac{\tau}{\tau + s_t}\right)^{\alpha} \frac{\alpha}{\tau + s_t}, \text{ pour } s_t > 0 \text{ et } \alpha > 1, \tau > 0.$$

2. La distribution a posteriori de $\Theta|S_1=s_1, \ldots, S_T = s_T$ est une gamma de paramètres $\alpha^* = \alpha + T$ et $\tau^* = \tau + s_{\bullet}$.

3. La distribution prédictive de $S_{T+1}|S_1=s_1, \ldots, S_T = s_T$ est $Lomax(\alpha^*, \tau^*)$, pour $s_t > 0$ et $\alpha > 1, \tau > 0$.

(Exemple à faire à la maison)

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Exercice 4.8 Trouvez les primes suivantes:

1. La prime de risque;
2. La prime collective;
3. La prime prédictive au temps $t=T$;
4. La prime chargée à un nouvel assuré;
5. Le coefficient de crédibilité $\mathsf{Z}$ pour la prime de crédibilité.

(Exemple à faire en classe)

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