3.4 Rejet de l’équidispersion du nombre de réclamations

Lorsque $S \sim PC(\lambda)$, nous avons vu que la condition de stabilité d’ordre $(K,p)$ pour $S$ est:

$$\lambda_{cc} = \left(\frac{Q(q)}{K}\right)^2 \left[1 + \frac{Var[X]}{E[X]^2} \right]$$

avec $\lambda_{cc}$, le seuil de stabilité.

Ce résultat basé sur la Poisson composée, signifiant que le nombre de sinistres suit une loi de Poisson. On peut généraliser l’approche à d’autres modèles de somme composée, où le nombre de sinistres ne serait pas poissonnien, mais suivrait plutôt une autre distribution.

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Proposition 3.8 La variance d’une somme composée $S$ peut aussi s’exprimer comme:

$$Var[S] = E[N] \left(E[X]^2 d_N + Var[X] \right), \ \ \ \text{avec} \ \ d_N = \frac{Var[N]}{E[N]}.$$

(Preuve à faire en classe)

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Proposition 3.9 Si $S$ suit une somme composée, alors la condition de stabilité d’ordre $(K,p)$ pour $S$ est:

$$\lambda_{cc} = \left(\frac{Q(q)}{K}\right)^2 \left[d_N + \frac{Var[X]}{E[X]^2} \right]$$

où $\lambda_{cc}$ correspond au seuil de stabilité, si on tient compte de la fréquence $N$ et de la sévérité $X$.

(Preuve à faire en classe)

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Le résultat de crédibilité du modèle avec somme composée généralise le modèle de Poisson composée. En effet, pour obtenir $\lambda_{cc}$ d’une Poisson composée, on peut prendre le résultat de la dernière proposition et utiliser $d_N=1$.

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Exemple 3.10 Vérifiez que la décomposition du modèle de crédibilité totale par $\lambda_0$ et $n_{cc}^s$ est toujours valide avec un modèle de somme composée utilisant un $d_N \ne 1$.

(Exemple à faire à la maison)

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Exemple 3.11 Vérifiez que la construction du modèle de crédibilité partielle est toujours valide avec un modèle de somme composée utilisant un $d_N \ne 1$.

(Exemple à faire à la maison)