8.5 Exercices

1- On suppose que le coût total des réclamations annuelles d’un groupe pour son contrat \(t\) suit une loi gamma de paramètres \(n_t \times \Theta, \tau\), où \(n_t\) est le nombre d’assurés dans le groupe. Les actuaires pensent qu’il existe 4 types d’assurés dans le portefeuille:

Profils #1 #2 #3 #4
\(\Theta\) 800 950 1000 1450
\(\Pr(\Theta=\theta)\) 40% 20% 20% 20%

Un assuré a été observé pendant 3 contrats annuels, et cherche à s’assurer pour une 4e année. Les sinistres réclamés et le nombre d’assurés \(n_t\) pour les années \(t=1,2,3,4\) sont:

Année (\(t\)) \(n_t\) \(s_t\)
\(1\) \(100\) \(120,000\)
\(2\) \(120\) \(93,000\)
\(3\) \(75\) \(99,000\)
\(4\) \(120\) ?

A l’aide de l’approche de Bühlmann-Straub, répondez aux questions suivantes:

  1. Calculez la prime a priori de ce groupe au temps \(t=4\);
  2. Calculez la valeur du coefficient \(\mathsf{Z}\) au temps \(T=4\);
  3. Trouvez la prime de crédibilité du modèle de Bühlmann-Straub pour l’année 4;
  4. Comparez les résultats obtenus avec un calcul bayésien.

2- On suppose \(S_t |\Theta=\theta \sim Poisson(\lambda_t \theta)\), avec \(\Theta \sim gamma(\alpha = 1.2, \alpha=1.2)\). Deux assurés ont eu les primes a priori et l’expérience de sinistres suivante:

Année Prime a priori assuré #1 Sinistres réclamés assuré #1 Prime a priori assuré #2 Sinistres réclamés assuré #2
1 0.350 0 0.275 0
2 0.175 2 0.350 2
3 0.250 1 0.350 1
4 0.240 4 0.200 4
5 0.100 0 0.222 0
6 0.242 1 0.230 1
7 0.200 ? 0.200 ?

Pour les années 1 à 7, déterminez la prime à accorder aux assurés 1 et 2.

3- Le nombre de sinistres annuels est \(S_{t}|\Theta=\theta \sim Poisson(\lambda_{t} \theta)\). Utilisez les informations ci-dessous. Indice: au début de la première année, l’assuré n’a pas encore d’historique de réclamations.

Année Prime a priori Prime chargée Sinistres réclamés
1 0.150 \(a\) 0
2 ? 0.2 1
3 \(b\) 0.4 0
  1. Trouvez la valeur de \(a\);
  2. Sachant que \(\Theta \sim gamma(\alpha=2,\alpha=2)\), trouvez \(b\).

4- Soit le modèle binomial-négatif/béta. Ainsi, pour un contrat \(t\):

  • \(\Pr[S_{t}=s_{t}|\Theta=\theta] = \frac{\Gamma(s_{t} + \lambda_{t})}{\Gamma(\lambda_{t}) \Gamma(s_{t}+1)} \theta^{\lambda_{t}} \Big(1- \theta \Big)^{s_{t}}\);

  • \(\Theta \sim beta(\alpha,\beta)\).

Trouvez:

  1. La distribution de \(S_{T+1}\) sachant \(S_{1}=s_{1}, ..., S_{T}=S_{T}\);

  2. La densité a posteriori de \(\Theta\) sachant \(S_{1}=s_{1}, ..., S_{T}=S_{T}\);

  3. Calculez la valeur de \(\mathbf{Z}\) du modèle de crédibilité de Bühlmann-Straub;

  4. Montrez que le modèle de crédibilité de Bühlmann-Straub génére la même prime que le modèle bayésien.

5- Le nombre de sinistres annuels est \(S_{t}|\Theta=\theta \sim Poisson(\lambda_{t} \theta)\). Utilisez les informations ci-dessous. Indice: au début de la première année, l’assuré n’a pas encore d’historique de réclamations.

Année Prime a priori Prime chargée Sinistres réclamés
1 0.150 \(a\) 0
2 0.175 . 1
3 0.250 \(b\) 0
4 0.425 . 0
5 0.344 \(c\) 5

  1. Trouvez la valeur de \(a\);

  2. Sachant que \(\Theta \sim gamma(\alpha = 1.5,\alpha = 1.5)\), trouvez \(b\);

  3. Sachant que \(\Theta \sim gamma(\tau, \tau)\), avec \(\tau\) inconnu, estimez \(c\).

6- Soit un type de modèle gamma/gamma. Plus spécifiquement, pour le contrat \(t\), supposons que :

  • \(S_{t}|\Theta = \theta \sim Gamma(\lambda_{t}; \theta)\)

  • \(\Theta \sim gamma(\alpha;\tau)\).

Trouvez:

  1. La densité de \(S_{T+1}\) sachant \(S_{1}=s_{1}, ..., S_{T}=s_{T}\);

  2. La densité a posteriori de \(\theta\) sachant \(S_{1}=s_{1}, ..., S_{T}=s_{T}\);

  3. Calculez la valeur de \(\mathbf{Z}\) du modèle de crédibilité de Bühlmann-Straub;

  4. Montrez que le modèle de crédibilité de Bühlmann-Straub génére la même prime que le modèle bayésien.

7- On suppose les résultats annuels suivants pour 2 compagnies d’assurance:

Groupe Statistique An 1 An 2 An 3 An 4
1 Nombre de sinistres 8 3 3 .
Nombre de polices 4 1 2 2
2 Nombre de sinistres 2 3 5 .
Nombre de polices 1 1 2 2

Trouvez les primes de crédibilité pour les 2 polices pour l’année 4.

8- Nous avons les résultats annuels sur 4 années pour 3 compagnies d’assurance. Notons de manière usuelle \(Y_{i,t}\) l’expérience de sinistre standardisée de l’assuré \(i\) au temps \(t\) et \(W_{i,t}\) le nombre de polices de l’assuré \(i\) au temps \(t\). En ayant en main les résultats suivants:

\[\begin{align*} Y_{1,W} = 10 \ , Y_{2,W} = 2 \ , Y_{3, W} = 5 \\ W_{1,\bullet} = 10 \ , W_{2, \bullet} = 5 \ , W_{3,\bullet} = 20 \end{align*}\]

\[\sum_{i=1}^{m=3} \sum_{t=1}^{T=4} W_{i,t}(Y_{i,t} - Y_{i,W})^2 = 234\]

Trouvez la prime de crédibilité de la police 1 pour la 5e année pour un volume d’assurés de 3 (\(W_{1,5} = 3\)).

9 - Calculez les primes de crédibilité pour l’année \(2016\) des trois flottes de véhicules suivantes, dont l’expérience est décrite ici:

Flotte Statistique 2015 2014 2013 2012 2011
1 Nombre de sinistres 30 21 12 10 8
Nombre de véhicules 40 45 31 15 19
2 Nombre de sinistres 8 5 0 . .
Nombre de véhicules 24 23 22 . .
3 Nombre de sinistres 9 15 20 35 .
Nombre de véhicules 34 39 52 60 .

10- Complétez les démonstrations des notes de cours qui n’ont pas été faites en classe.