7.1 Introduction
Dans le modèle de crédibilité de Bühlmann, nous avons vu plus que dans certaines situations, la prime de crédibilité linéaire était identique à la prime bayésienne. C’est un résultat qui a été remarqué rapidement après la publication du modèle de Bühlmann en 1967. Il s’agit du théorème de W.S Jewell publié en 1977:
Théorème 7.1 (Théorême de Jewell) La prime bayésienne est égale à la prime de crédibilité linéaire de Bühlmann lorsque les conditions suivantes sont vérifiées:
i) La variable aléatoire conditionnelle \(S_t|\Theta=\theta\) est membre de la famille exponentielle linéaire.
ii) La variable aléatoire \(\Theta\) modélisant l’hétérogénéité est conjuguée à la variable aléatoire \(S_t|\Theta\).
iii) La variance de la variable aléatoire \(S_t|\Theta=\theta\) est constante pour tous \(t=1,...,T\).
L’un des objectifs de ce chapitre est d’analyser ce théorême. Pour y parvenir, nous débuterons pas une analyse des distributions de la famille exponentielle linéaire. Ensuite, nous verrons la forme nécessaire à la distribution de l’hétérogénéité pour qu’elle soit conjuguée à la distribution conditionnelle.