4.8 Exercices
1- On suppose un portefeuille d’assurance où le nombre de réclamations suit une loi Binomiale(\(n=5\), \(q\)). On suppose un autre portefeuille d’assurance où \(30\%\) des assurés réclament en moyenne 2 fois par année, \(40\%\) des assurés réclament en moyenne 1 fois par 3 ans et \(30\%\) des assurés ne réclame jamais.
- Quelle est la probabilité qu’un assuré pris au hasard réclame 1 fois au cours de la prochaine année ?
- Calculez la prime collective;
- Trouvez la prime au temps \(T=5\) si l’assuré a réclamé 2 fois au cours des 4 dernières années.
2- On suppose un portefeuille d’assurance où le nombre de réclamations suit une loi Binomiale(\(n=10\), \(q\)). On suppose un autre portefeuille d’assurance où \(10\%\) des assurés réclament en moyenne 2 fois par année, \(50\%\) des assurés réclament en moyenne 1 fois par 3 ans et \(40\%\) des assurés ne réclame jamais.
- Quelle est la probabilité qu’un assuré pris au hasard réclame 1 fois au cours de la prochaine année ?
- Calculez la prime collective;
- Trouvez la prime au temps \(T=5\) si l’assuré a réclamé 2 fois au cours des 4 dernières années.
3- Vous essayez de modéliser la probabilité de gagner des Canadiens de Montréal. Vous êtes incertains de cette probabilité, mais pensez qu’il y a \(30\%\) des chances qu’elle soit de \(30\%\), \(40\%\) des chances qu’elle soit de \(60\%\) et \(30\%\) des chances qu’elle soit de \(90\%\).
- Calculez la probabilité que les Canadiens gagnent leurs 10 premiers matchs;
- Comparez le résultat si vous êtes certains que la probabilité de gagner est de \(60\%\);
- Sachant que les Canadiens ont perdu leur 5 premiers matchs, quelle est la probabilité que les Canadiens gagnent les 5 suivants?
4- On suppose que \(5\%\) des hommes sont daltoniens et que seulement \(0.25\%\) des femmes le sont. Une personne daltonienne est choisie au hasard dans une population qui contient \(10\%\) d’hommes et \(90\%\) de femmes. Quelle est la probabilité que la personne choisie soit un homme?
5- On suppose un portefeuille d’assurance où les assurés sont divisés en 3 classes. Le nombre de réclamations de chaque classe suit une loi de Poisson, mais le paramètre de la distributions est différent selon la classe. La classe I a une moyenne de réclamation de \(0.5\), la classe II possède un paramètre égal à \(0.75\) alors que la probabilité de ne pas réclamer de sinistre en un an pour les assurés de la classe III est de \(0.36788\).
- Calculez la prime collective;
- Quelle est la probabilité qu’un assuré pris au hasard réclame 1 fois au cours de la prochaine année ?
- Trouvez la prime au temps \(T=5\) si l’assuré a réclamé 2 fois au cours des 4 dernières années.
6- Quatre urnes contiennent des balles rouges ou noires. Tous les tirages sont effectués avec remise. Chaque urne a une probabilité différente d’être choisie, et la proportion de balles noires par urne varie de la façon suivante:
| Type | Prob. d’être choisie | Pct. de balles noires |
|---|---|---|
| I | 40% | 5% |
| II | 30% | 8% |
| III | 20% | 13% |
| IV | 10% | 18% |
- Une urne est choisie et une balle est pigée dans cette urne. Quelle est la probabilité que cette balle soit noire?
- Si la balle choisie est noire, quelle est la probabilité que l’urne I ait été choisie?
- Si la balle choisie est noire, quelle est la probabilité que l’urne II ait été choisie?
- Si la balle choisie est noire, quelle est la probabilité que la balle suivante dans la même urne soit noire aussi?
- Si la balle choisie est rouge, quelle est la probabilité que la balle suivante dans la même urne soit rouge aussi?
7- Un portefeuille contient 3 types d’assurés. Un assuré peut avoir aucune ou une seule réclamation par année. Un assuré est choisi au hasard dans le portefeuille. La proportion de chaque type d’assurés, et la probabilité d’avoir une réclamation pour chaque type d’assuré est indiqué dans le tableau suivant.
| Type | Prob. d’être choisi | Prob. accident |
|---|---|---|
| A | 60% | 20% |
| B | 25% | 30% |
| C | 15% | 40% |
- Quelle est la fréquence annuelle de réclamations pour tout le portefeuille?
- Si on observe aucune réclamation au cours de la première année, quelle est la probabilité que l’assuré soit du type A?
- Si on observe aucune réclamation au cours de la première année, quelle est la probabilité que l’assuré soit du type B?
- Si on observe aucune réclamation au cours de la première année, quelle est la probabilité que l’assuré soit du type C?
- Si on observe aucune réclamation au cours de la première année, quelle est l’espérance du nombre de réclamations pour l’année suivante?
- Si on observe une réclamation au cours de la première année, quelle est l’espérance du nombre de réclamations pour l’année suivante?
8- Au baseball, les lanceurs sont divisés en deux groupes, les lanceurs de balles rapides et les lanceurs de schmouilles. Afin d’entrer dans le club de Cubs de la Rive-Sud, Dominic et Mathieu doivent frapper au moins 3 coups sûrs sur les 10 lancers qu’ils recevront. Un lanceur pris au hasard lancera à Mathieu et à Dominic. Sachant que Mathieu a frappé 3 coups sûrs, quelle est la probabilité que Dominic fasse partie des Cubs ?
Informations pertinentes:
- Il n’y a que 25% de lanceurs de balles rapides;
- Il y a une chance sur 10 de frapper un coup sûr contre un lanceur de balles rapides;
- Il y a une chance sur 2 de frapper un coup sûr contre un lanceur de schmouilles.
9- Nous supposons que le nombre de réclamations \(N\) dans une période suit une loi de Poisson avec paramètres \(\lambda \times \Theta\), où \(i=1,2,3\). Ainsi, nous supposons que notre portefeuille d’assurance est composé de 3 types de personnes:
- Les assurés A, formant 30 % du portefeuille ayant un facteur d’hétérogénéité \(\theta_1=0.7\);
- Les assurés B, formant 20 % du portefeuille ayant un facteur d’hétérogénéité \(\theta_2=1.1\);
- Les assurés C, formant 50 % du portefeuille ayant un facteur d’hétérogénéité \(\theta_3=1.14\).
avec \(\lambda = 0.15\).
- Calculez la prime pure donnée à une police prise au hasard (on ne sait pas quel type de personne est sélectionnée);
- Calculez Var(\(N\)) pour une police prise au hasard (on ne sait pas quel type de personne est sélectionnée);
- Exprimez la probabilité qu’une police prise au hasard (on ne sait pas quel type de personne est sélectionnée) donne lieu à 0 sinistre durant une période;
- Si on observe aucune réclamation au cours de la première année, quelle est la probabilité que l’assuré soit du type C?
- Si on observe aucune réclamation au cours des deux premières années, quelle est l’espérance du nombre de réclamations pour l’année suivante?
- Si on observe une réclamation au cours de la première année, quelle est l’espérance du nombre de réclamations pour l’année suivante?
10- Trois tireurs visent chacun une cible différente. Les trois cibles sont sur une ligne droite. On suppose que les tirs sont distribués selon un loi normale le long de cette droite.
| Tireur | Lieu de la cible | Écart type de l’erreur du tireur |
|---|---|---|
| I | 10 | 3 |
| II | 20 | 5 |
| III | 30 | 15 |
- Un tireur est choisi au hasard. On observe des tirs aux points 10 et 14. Quelle est la probabilité que ce soit le 2e tireur?
- Mêmes observations. Quel est l’estimé Bayésien du prochain tir?
11- Une population a la probabilité d’avoir un sinistre égale à \(\theta\). La probabilité de ne pas avoir un sinistre est égale à \((1-\theta )\). On ne connaît pas la vraie valeur de \(\theta\), alors l’actuaire en charge du problème décide qu’il est raisonnable de penser que \(\theta\) suit une uniforme [0,1].
- Quelle est l’espérance du nombre de réclamations d’un nouvel assuré?
- Après deux années, un assuré a deux réclamations. Quelle est son espérance du nombre de réclamations?
- Après trois années, un assuré a trois réclamations. Quelle est son espérance du nombre de réclamations?
12- Soit le nombre de réclamations annuelles suivant un loi de Poisson de moyenne \(\Theta\). Nous ne connaissons pas la distribution a priori de \(\Theta\). Trois options sont proposées:
- \(\Theta\) est distribué uniformément sur (0,2)
- \(\Theta\) suit une loi exponenetielle de moyenne 1
- \(P[\Theta = 1] = 1\) et \(P[\Theta \not = 1]= 0\)
- Nous savons que la probabilité de n’avoir aucun sinistre doit être inférieure à 0.45. Lesquelles de ces options sont des distributions viables de \(\theta\) sachant cette condition?
- Supposons que l’actuaire en charge de ce problème n’arrive pas à choisir une distributions a priori de \(\Theta\). Il décide donc de leur attribuer une probabilité égale d’être choisie. Dans cette situations, quelle est l’espérance du nombre de réclamations?
13- On suppose que \(X|\theta\) suit une loi gamma de paramètres \(\alpha = 1.2\), \(\tau = \theta\). On fait l’hypothèse que \(\Theta\) est distribué selon:
\[\begin{equation*} g(\theta) = \begin{cases} \theta/50 & 0 < \theta < 10 \\ 0 & \text{ailleurs}\\ \end{cases}, \end{equation*}\]
On simule deux valeurs de \(X\) et on obtiens \(X_1 = 1\) et \(X_2=1\). Quelle est la distribution a posteriori de \(\theta\) ?
14 -Quatre tireurs tirent sur un ensemble de cibles. Lorsque le tireur I tire, il atteint l’une des cibles R,S,U,V avec la même probabilité. Quand le tireur II tire, il atteint S,T,V,W avec la même probabilité. Lorsque le tireur III, s’exécute, il touche les cibles U,V,X,Y avec la même probabilité alors que pour le tireur IV, ce sont les cibles V,W,Y,Z qui sont équiprobables.
| R | S | T |
| U | V | W |
| X | Y | Z |
- Un tireur est choisi au hasard et tire deux coups. Quelle est la probabilité d’être sûr à 100% de pouvoir l’identifier?
- Un tireur est choisi au hasard et tire deux coups. Quelle est la probabilité d’être au moins sûr à 49% de pouvoir l’identifier?
15- Le probabilité d’avoir une réclamation est de \(\Theta\). La fonction de densité a priori de \(\Theta\) est la suivante:
\[ \pi (\theta ) = (3/2)\sqrt{\theta } , 0 < \theta < 1 \]
- Quelle est l’espérance a priori de \(\Theta\)?
- Quelle est l’espérance prédictive sachant qu’il y a eu un sinistre;
- Trouvez la distribution a posteriori sachant qu’il y a eu un sinistre;
- Trouvez la probabilité que \(\Theta > 0.6\) sachant qu’il y a eu un sinistre.
16- Soit le modèle Normal/Normal. Ainsi:
- \(S_i|\theta \sim Normal(\theta,1)\) ;
- \(\theta \sim Normal(\mu,\sigma^2)\).
Trouvez:
- La prime de risque;
- La prime collective;
- La densité a posteriori de \(\theta\) sachant \(S_1=s_1, ..., S_T=s_t\);
- La distribution prédictive de \(S_{T+1}\) sachant \(S_1=s_1, ..., S_T=s_t\);
- Le coefficient de crédibilité \(Z\) de la prime de crédibilité.
17- La distribution conditionnelle de \(S_i\) sachant que \(\Theta = \theta\) est binomiale de paramètre \(n=2\) et \(\theta\), où \(\Theta\) est distribuée selon une loi Beta(\(\alpha = 2, \beta=2\)). Quelle est la probabilité que \(S_5 = 2\)?
18- Soit le modèle Géométrique/Beta (Note: La géométrique est un cas particulier de la binomiale négative avec \(r=1\)). Ainsi nous avons:
\[\Pr[S_i = s_i|\theta] = \theta (1-\theta)^{s_i}, \ s_i = 0,1,2,... \]
et
\[\theta \sim Beta(\alpha,\beta)\]
Trouvez:
- La prime de risque;
- La prime collective;
- La densité a posteriori de \(\theta\) sachant \(S_1=s_1, ..., S_T=s_t\);
- La distribution prédictive de \(S_{T+1}\) sachant \(S_1=s_1, ..., S_T=s_t\);
- Le coefficient de crédibilité \(Z\).
19- On suppose un modèle \(S_i|\theta \sim Poisson(\theta)\) avec \(\theta \sim Gamma(\alpha,\tau)\). Si nous avons:
\[ \Pr[S_3=s_3|S_1= 1,S_2= 2] = \binom{6 + s_3}{s_3} (0.9)^7 (0.1)^{s_3},\]
Trouvez la covariance entre \(S_1\) et \(S_2\).
20- Pour un certain portefeuille d’assurance, un actuaire utilise le modèle de Bühlmann pour un cas Poisson/Gamma, ou plus précisément \(S_i|\theta \sim Poisson(\theta)\) avec \(\theta \sim Gamma(\alpha,\tau)\). Après 4 années, \(Z\) serait de 0.8. L’actuaire décide alors de changer un peu les hypothèses associées à la variable aléatoire \(\Theta\). Il double sa variance tout en préservant son espérance.
- Combien d’années faut-il maintenant pour le portefeuille ait une crédibilité de 0.8?
- Si un modèle bayésien était utilisé, combien d’années seraient nécessaires afin que le portefeuille ait une crédibilité de 0.8?
21- Un assureur suppose que tous les conducteurs peuvent être séparés en deux classes: à risque élevé et à risque contrôlé. Il croît que 75% des conducteurs représentent un risque contrôlé. Il suppose que le montant des sinistres annuels d’un conducteur à risque contrôlé est distribué comme suit:
\[\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} (10 - x)/50 & 0 < x < 10 \\ 0 & \text{ailleurs}\\ \end{cases}, \end{equation*}\]
Il suppose que celui des conducteurs à risque élevé suit une loi uniforme sur (0,15). Si un nouvel assuré subit un montant de sinistres de 5 à sa première année, quelle sera le pourcentage d’augmentation ou de diminution de sa prime lors de son premier renouvellement?
22- Complétez les exemples des notes de cours qui n’ont pas été faits en classe.