6.6 Exercices
1- En utilisant le modèle de Bühlmann, déterminez le coefficient de crédibilité pour les modèles suivants:
- \(S_t |\Theta = \theta \sim Poisson(\theta), \ \Theta \sim gamma(\alpha,\beta)\)
- \(S_t |\Theta = \theta \sim Uniforme[0,\theta], \ \Theta \sim gamma(\alpha,\beta)\)
- \(S_t |\Theta = \theta \sim Normale[5\theta, \sigma^2], \ \Theta \sim uniforme[a,b]\)
- \(S_t |\Theta = \theta \sim Exponentielle(\theta), \ \Theta \sim beta[a,b]\)
- \(S_t |\Theta = \theta \sim Gamma[\theta,\beta], \ \Theta \sim uniforme[a,b]\)
2- Danaïl et ses amis actuaires possèdent 2 portefeuilles d’assurance. Ils voudraient calculer la crédibilité de l’expérience de chaque police en utilisant le modèle de Bühlmann. Pour le portefeuille #1, la variance de la prime de risque représente 25% de la variance du montant des sinistres. Pour le portefeuille #2, le montant des sinistres pour un assuré quelconque suit une loi Normale\((\mu, \sigma^2=25)\). La prime de risque est elle-même distribuée dans la population selon une loi Normale\((\alpha,\sigma^2=16)\). Indiquez quel portefeuille mérite la plus grande crédibilité.
3- Nous travaillons avec la variable aléatoire \(X\), de moyenne \(m\) et de variance \(v\). \(m\) est aussi une variable aléatoire, de moyenne 2 et de variance 4, alors que \(v\) est une variable aléatoire de moyenne 8 et de variance 32. Déterminer le facteur de crédibilité de Bühlmann accordé à l’expérience de \(X\), après 3 observations.
4- On tire au hasard un dé parmi 3 dés différents normaux. Il y a un dé à 4 faces, un dé à 6 faces et un dé à 8 faces. On obtient un 7. On lance le même dé à nouveau.
- Trouvez l’estimé de Bayes de la valeur du prochain lancer.
- Trouvez l’estimé de Bühlmann de la valeur du prochain lancer.
5- On a deux types de risques. Le type A suit une loi Uniforme[0,1]. Le type B suit une loi Uniforme[0,2]. On choisit un type au hasard.
- En utilisant la méthode de Bühlmann, si on obtient 0.25 comme première observation, quel est l’estimé de l’observation suivante.
- En utilisant la méthode de Bayes, si on obtient 0.25 comme première observation, quel est l’estimé de l’observation suivante.
- Si la première observation était de 0.04, laquelle des deux approches est préférable?
- Si la première observation était de 1.2, laquelle des deux approches est préférable?
6- Pour un certain portefeuille d’assurance, un actuaire utilise le modèle de Bühlmann pour un cas Poisson/Gamma, ou plus précisément \(S_i|\Theta=\theta \sim Poisson(\theta)\) avec \(\Theta \sim gamma(\alpha,\tau)\). Après 4 années, \(\mathbf{Z}\) serait de 0.8. L’actuaire décide alors de changer un peu les hypothèses associées à la variable aléatoire \(\Theta\). Il double sa variance tout en préservant son espérance.
- Combien d’années faut-il maintenant pour le portefeuille ait une crédibilité de 0.8?
- Si un modèle bayésien était utilisé, combien d’années seraient nécessaires afin que le portefeuille ait une crédibilité de 0.8?
7- Soit le modèle Géométrique/Beta (Note: La géométrique est un cas particulier de la binomiale négative avec \(r=1\)). Ainsi:
- \(\Pr[S_i = s_i|\Theta = \theta] = \theta (1-\theta)^{s_i}, \ s_i = 0,1,2,...\) ;
- \(\Theta \sim beta(\alpha,\beta)\).
Trouvez le coefficient de crédibilité \(\mathbf{Z}\) du modèle de Bühlmann. Indice: Il y a une méthode très longue et une autre beaucoup plus courte pour résoudre le problème.
8- Soient les données suivantes pour des polices et des années de couverture:
| Police | Année 1 | Année 2 | Année 3 | Année 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 2 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 2 | 1 |
| 3 | 0 | 3 | 2 | 1 |
- Avec le modèle de Bühlmann, trouvez le coefficient de crédibilité \(Z\) pour l’année 5;
- Nommez un avantage et un désavantage de la méthode de Bühlmann.
9- En utilisant le modèle de Bühlmann, et en utilisant les deux modèles suivants:
- \(S_i|\Theta=\theta \sim Poisson(\theta)\);
- \(S_i|\Theta=\theta \sim Uniforme(0, 2 \theta)\);
Calculez la prime de la \(6^e\) année sachant qu’un assuré a eu au cours de 5 premières années les réalisations de \(S_i\): 3,1,5,4,2 et si \(\Theta \sim Gamma(10,5)\).
10- Soit le modèle gamma/gamma. Ainsi:
- \(S_i|\Theta = \theta \sim gamma(a,\theta)\);
- \(\Theta \sim gamma(\alpha,\lambda)\).
Trouvez le coefficient de crédibilité \(Z\) du modèle de Bühlmann. Indice: Il y a une méthode très longue et une autre beaucoup plus courte pour résoudre le problème.
11- Complétez les exemples des notes de cours qui n’ont pas été faits en classe.