6.6 Exercices

1- En utilisant le modèle de Bühlmann, déterminez le coefficient de crédibilité pour les modèles suivants:

1. $S_t |\Theta = \theta \sim Poisson(\theta), \ \Theta \sim gamma(\alpha,\beta)$
2. $S_t |\Theta = \theta \sim Uniforme[0,\theta], \ \Theta \sim gamma(\alpha,\beta)$
3. $S_t |\Theta = \theta \sim Normale[5\theta, \sigma^2], \ \Theta \sim uniforme[a,b]$
4. $S_t |\Theta = \theta \sim Exponentielle(\theta), \ \Theta \sim beta[a,b]$
5. $S_t |\Theta = \theta \sim Gamma[\theta,\beta], \ \Theta \sim uniforme[a,b]$

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2- Danaïl et ses amis actuaires possèdent 2 portefeuilles d’assurance. Ils voudraient calculer la crédibilité de l’expérience de chaque police en utilisant le modèle de Bühlmann. Pour le portefeuille #1, la variance de la prime de risque représente 25% de la variance du montant des sinistres. Pour le portefeuille #2, le montant des sinistres pour un assuré quelconque suit une loi Normale$(\mu, \sigma^2=25)$. La prime de risque est elle-même distribuée dans la population selon une loi Normale$(\alpha,\sigma^2=16)$. Indiquez quel portefeuille mérite la plus grande crédibilité.

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3- Nous travaillons avec la variable aléatoire $X$, de moyenne $m$ et de variance $v$. $m$ est aussi une variable aléatoire, de moyenne 2 et de variance 4, alors que $v$ est une variable aléatoire de moyenne 8 et de variance 32. Déterminer le facteur de crédibilité de Bühlmann accordé à l’expérience de $X$, après 3 observations.

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4- On tire au hasard un dé parmi 3 dés différents normaux. Il y a un dé à 4 faces, un dé à 6 faces et un dé à 8 faces. On obtient un 7. On lance le même dé à nouveau.

1. Trouvez l’estimé de Bayes de la valeur du prochain lancer.
   
2. Trouvez l’estimé de Bühlmann de la valeur du prochain lancer.

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5- On a deux types de risques. Le type A suit une loi Uniforme[0,1]. Le type B suit une loi Uniforme[0,2]. On choisit un type au hasard.

1. En utilisant la méthode de Bühlmann, si on obtient 0.25 comme première observation, quel est l’estimé de l’observation suivante.
   
2. En utilisant la méthode de Bayes, si on obtient 0.25 comme première observation, quel est l’estimé de l’observation suivante.
   
3. Si la première observation était de 0.04, laquelle des deux approches est préférable?
   
4. Si la première observation était de 1.2, laquelle des deux approches est préférable?

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6- Pour un certain portefeuille d’assurance, un actuaire utilise le modèle de Bühlmann pour un cas Poisson/Gamma, ou plus précisément $S_i|\Theta=\theta \sim Poisson(\theta)$ avec $\Theta \sim gamma(\alpha,\tau)$. Après 4 années, $\mathbf{Z}$ serait de 0.8. L’actuaire décide alors de changer un peu les hypothèses associées à la variable aléatoire $\Theta$. Il double sa variance tout en préservant son espérance.

1. Combien d’années faut-il maintenant pour le portefeuille ait une crédibilité de 0.8?
   
2. Si un modèle bayésien était utilisé, combien d’années seraient nécessaires afin que le portefeuille ait une crédibilité de 0.8?

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7- Soit le modèle Géométrique/Beta (Note: La géométrique est un cas particulier de la binomiale négative avec $r=1$). Ainsi:

• $\Pr[S_i = s_i|\Theta = \theta] = \theta (1-\theta)^{s_i}, \ s_i = 0,1,2,...$ ;
  
• $\Theta \sim beta(\alpha,\beta)$.

Trouvez le coefficient de crédibilité $\mathbf{Z}$ du modèle de Bühlmann. Indice: Il y a une méthode très longue et une autre beaucoup plus courte pour résoudre le problème.

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8- Soient les données suivantes pour des polices et des années de couverture:

Police	Année 1	Année 2	Année 3	Année 4
1	0	1	2	1
2	3	4	2	1
3	0	3	2	1

1. Avec le modèle de Bühlmann, trouvez le coefficient de crédibilité $Z$ pour l’année 5;
   
2. Nommez un avantage et un désavantage de la méthode de Bühlmann.

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9- En utilisant le modèle de Bühlmann, et en utilisant les deux modèles suivants:

• $S_i|\Theta=\theta \sim Poisson(\theta)$;
  
• $S_i|\Theta=\theta \sim Uniforme(0, 2 \theta)$;

Calculez la prime de la $6^e$ année sachant qu’un assuré a eu au cours de 5 premières années les réalisations de $S_i$: 3,1,5,4,2 et si $\Theta \sim Gamma(10,5)$.

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10- Soit le modèle gamma/gamma. Ainsi:

• $S_i|\Theta = \theta \sim gamma(a,\theta)$;
• $\Theta \sim gamma(\alpha,\lambda)$.

Trouvez le coefficient de crédibilité $Z$ du modèle de Bühlmann. Indice: Il y a une méthode très longue et une autre beaucoup plus courte pour résoudre le problème.

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11- Complétez les exemples des notes de cours qui n’ont pas été faits en classe.

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