3.2 La somme composée

3.2.1 La charge totale

Nous pouvons retourner à notre cas de somme composée, où l’approximation par la loi normale sera de nouveau utilisée.

Proposition 3.4 Dans le cas où d’une Poisson composée avec $S \sim PC(\lambda)$, le coefficient de stabilité est alors :

$$\begin{equation*} \mathsf{Z} = \begin{cases} \sqrt{\frac{\lambda}{\lambda_{cc}}}& \text{si} \ \lambda < \lambda_{cc}\\ 1& \text{si} \ \lambda \ge \lambda_{cc} \end{cases}, \end{equation*}$$

(Preuve à faire en classe)

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Notez encore une fois que le résultat précédent implique une inégalité. Donc, $\mathsf{Z}$ est la valeur maximale qui peut être utilisé avec $S \sim PC(\lambda)$ pour que $\mathsf{Z} S$ soit stable d’ordre ($K,p$).

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Exemple 3.3 On suppose que la variable aléatoire $S$ suit une somme composée, avec $N \sim Poisson(\lambda= 1500)$ et $X_i \sim Exponentiel(\beta)$. Trouvez $\mathsf{Z}$ pour que la condition de stabilité d’ordre $(K = 0.05, p=0.95)$ soit respectée pour $\mathsf{Z}S$ .

(Exemple à faire en classe)

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Vérifions le résultat de l’exemple précédent par simulations.

# initialisation du générateur de nombres aléatoires
set.seed(42) 

# critères de stabilité
K <- 0.05
p <- 0.95

# paramètres de la Poisson et Exponentielle
lambda <- 1500
beta <- 1/200
mu_s <- lambda/beta

# nb de simulations
n <- 10000

# simulations de Poisson Composé
dat1 <- data.frame()
for (count in 1:n){
    x <- rpois(n = 1, lambda)
    y <- rexp(n = x, rate=beta) 
    z <- sum(y)
    dat1[count,1] <- ifelse(z > mu_s*(1-K) & z < mu_s*(1+K), 1, 0)
}
100*sum(dat1)/n

## [1] 83.71

Ajustons la simulation avec le facteur $\mathsf{Z}$:

Z <- sqrt(1500/3073.167)
borne.min <- Z*mu_s - K*mu_s
borne.max <- Z*mu_s + K*mu_s
c(borne.min, borne.max)

## [1] 194591.6 224591.6

# simulations de Poisson Composé
dat1 <- data.frame()
for (count in 1:n){
    x <- rpois(n = 1, lambda)
    y <- rexp(n = x, rate=beta) 
    z <- sum(y)
    dat1[count,1] <- ifelse(Z*z > borne.min & Z*z < borne.max, 1, 0)
}
100*sum(dat1)/n

## [1] 95.01

3.2.2 La fréquence et la sévérité

Proposition 3.5 Dans le cas de l’analyse unique de la fréquence et de la sévérité, le coefficient de stabilité $\mathsf{Z}$ se calcule de manière similaire. Dans de tels cas, nous obtenons:

$$\mathsf{Z}_F \le \sqrt{\frac{\lambda}{\lambda_{0}}}, \ \ \text{et} \ \ \mathsf{Z}_S \le \sqrt{\frac{n}{n_{cc}^S}}$$

(À faire en exercice)

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Exemple 3.4 On suppose :

• On suppose que $S$ est une Poisson composée;

• $N \sim Poisson(\lambda)$ et $X_i \sim Gamma(5, \beta)$;

• En moyenne, on observe que pour un groupe de 5000 assurés, il y a un sinistre pour chaque groupe de 20 assurés.

Trouvez le coefficient $\mathsf{Z}$ d’ordre $(K = 0.05, p =0.9)$ à appliquer à $S$ pour obtenir une variable aléatoire stable.

(Exemple à faire en classe)

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Exercice 3.2 Vérifiez le résultat de l’exemple précédent par simulations.

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Exemple 3.5 On suppose :

• On suppose que $S$ est une Poisson composée;

• $N \sim Poisson(\lambda)$ et $X_i \sim Exponentiel(\beta)$;

• Le coefficient de stabilité d’ordre $(K = 0.05, p =0.9)$ est de 0.70 pour la composante fréquence.

Trouvez le coefficient de stabilité d’ordre $(K = 0.05, p =0.9)$ pour la charge totale en tenant compte de la fréquence et de la sévérité.

(Exemple à faire en classe)

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