3.2 La somme composée
3.2.1 La charge totale
Nous pouvons retourner à notre cas de somme composée, où l’approximation par la loi normale sera de nouveau utilisée.
Proposition 3.4 Dans le cas où d’une Poisson composée avec \(S \sim PC(\lambda)\), le coefficient de stabilité est alors :
\[\begin{equation*} \mathsf{Z} = \begin{cases} \sqrt{\frac{\lambda}{\lambda_{cc}}}& \text{si} \ \lambda < \lambda_{cc}\\ 1& \text{si} \ \lambda \ge \lambda_{cc} \end{cases}, \end{equation*}\]
(Preuve à faire en classe)
Notez encore une fois que le résultat précédent implique une inégalité. Donc, \(\mathsf{Z}\) est la valeur maximale qui peut être utilisé avec \(S \sim PC(\lambda)\) pour que \(\mathsf{Z} S\) soit stable d’ordre (\(K,p\)).
Exemple 3.3 On suppose que la variable aléatoire \(S\) suit une somme composée, avec \(N \sim Poisson(\lambda= 1500)\) et \(X_i \sim Exponentiel(\beta)\). Trouvez \(\mathsf{Z}\) pour que la condition de stabilité d’ordre \((K = 0.05, p=0.95)\) soit respectée pour \(\mathsf{Z}S\) .
(Exemple à faire en classe)
Vérifions le résultat de l’exemple précédent par simulations.
# initialisation du générateur de nombres aléatoires
set.seed(42)
# critères de stabilité
K <- 0.05
p <- 0.95
# paramètres de la Poisson et Exponentielle
lambda <- 1500
beta <- 1/200
mu_s <- lambda/beta
# nb de simulations
n <- 10000
# simulations de Poisson Composé
dat1 <- data.frame()
for (count in 1:n){
x <- rpois(n = 1, lambda)
y <- rexp(n = x, rate=beta)
z <- sum(y)
dat1[count,1] <- ifelse(z > mu_s*(1-K) & z < mu_s*(1+K), 1, 0)
}
100*sum(dat1)/n## [1] 83.71Ajustons la simulation avec le facteur \(\mathsf{Z}\):
Z <- sqrt(1500/3073.167)
borne.min <- Z*mu_s - K*mu_s
borne.max <- Z*mu_s + K*mu_s
c(borne.min, borne.max)## [1] 194591.6 224591.6# simulations de Poisson Composé
dat1 <- data.frame()
for (count in 1:n){
x <- rpois(n = 1, lambda)
y <- rexp(n = x, rate=beta)
z <- sum(y)
dat1[count,1] <- ifelse(Z*z > borne.min & Z*z < borne.max, 1, 0)
}
100*sum(dat1)/n## [1] 95.013.2.2 La fréquence et la sévérité
Proposition 3.5 Dans le cas de l’analyse unique de la fréquence et de la sévérité, le coefficient de stabilité \(\mathsf{Z}\) se calcule de manière similaire. Dans de tels cas, nous obtenons:
\[ \mathsf{Z}_F \le \sqrt{\frac{\lambda}{\lambda_{0}}}, \ \ \text{et} \ \ \mathsf{Z}_S \le \sqrt{\frac{n}{n_{cc}^S}} \]
(À faire en exercice)
Exemple 3.4 On suppose :
On suppose que \(S\) est une Poisson composée;
\(N \sim Poisson(\lambda)\) et \(X_i \sim Gamma(5, \beta)\);
En moyenne, on observe que pour un groupe de 5000 assurés, il y a un sinistre pour chaque groupe de 20 assurés.
Trouvez le coefficient \(\mathsf{Z}\) d’ordre \((K = 0.05, p =0.9)\) à appliquer à \(S\) pour obtenir une variable aléatoire stable.
(Exemple à faire en classe)
Exercice 3.2 Vérifiez le résultat de l’exemple précédent par simulations.
Exemple 3.5 On suppose :
On suppose que \(S\) est une Poisson composée;
\(N \sim Poisson(\lambda)\) et \(X_i \sim Exponentiel(\beta)\);
Le coefficient de stabilité d’ordre \((K = 0.05, p =0.9)\) est de 0.70 pour la composante fréquence.
Trouvez le coefficient de stabilité d’ordre \((K = 0.05, p =0.9)\) pour la charge totale en tenant compte de la fréquence et de la sévérité.