1.3 Rappels de notions théoriques élémentaires
Le cours de crédibilité peut se voir comme n’étant qu’un cours utilisant que les quatre théorèmes suivants. Tous ces théorèmes ont été vus dans plusieurs cours. Il est important de revoir en particulier ses notes du cours MAT1700 - Probabilités.
1.3.1 Formule (ou théorème) des probabilités totales
Théorème 1.1 Le théorème des probabilités totales indique que: \[ \Pr[A] = \sum_i \Pr[A|B_i] \Pr[B_i] \]
Exemple 1.3 Exemple intuitif pour comprendre le théorème. On cherche à calculer la probabilité d’avoir un accident de voiture, i.e. \(A=1\). Ainsi, nous cherchons \(\Pr[A=1]\).
Une manière simple de calculer plus facilement cette valeur pourrait être de conditioner sur la météo \(B\). Supposons qu’il n’existe que quatre états météorologiques possibles: \[B \in \{Neige, Pluie, Soleil, Autres \} = \{B_1, B_2, B_3, B_4 \}\]
Utilisez le théorême des probabilités totales pour exprimer \(\Pr[A=1]\) en fonction de la météo.
(Exemple à faire en classe)
1.3.2 Théorème de Bayes
Théorème 1.2 Le théorème de Bayes indique que: \[ \Pr[A|B] = \frac{\Pr[B | A] \Pr(A)}{\Pr[B]} = \frac{\Pr[B|A] \Pr[A]}{\Pr[B|A] \Pr[A] + \Pr[B|A^c] \Pr[A^c]} \] avec la condition \(Pr(B)\neq 0\).
Exemple 1.4 Il serait superflu à ce moment du cours de faire des exemples d’applications du théorême de Bayes puisque nous en ferons en séries pendant le cours. Il est toutefois recommander de revoir ses notes de cours de MAT1700-Probabilités pour se préparer au cours.
1.3.3 Théorèmes de l’espérance totale et de la variance totale
Théorème 1.3 Le théorème de l’espérance totale indique que \[ E[X] = E[E[X|Y]]\].
(Preuve à faire en classe)
Théorème 1.4 Le théorème de la variance totale indique que \[Var[X] = Var[E[X|Y]]+E[Var[X|Y]] \].
(Preuve à faire en classe)
Corollaire 1.1 Un corollaire du théorème de la variance totale est que \[ Cov[X,Y] = Cov[E[X|Z], E[Y|Z] ] + E[Cov[X,Y|Z]] \]