6.3 Distributions paramétriques
Au lieu de supposer un petit nombre de profils de risque, on peut prendre une distribution continue pour l’hétérogénéité \(\Theta\), et ainsi revisiter les modèles paramétriques vus dans le chapitre de la crédibilité bayésienne.
6.3.1 Distributions conjuguées
Commençons par analyser les modèles impliquant des distributions conjuguées.
Proposition 6.7 Le coefficient de crédibilité \(\mathsf{Z}\) du modèle \(S_{i,t}|\Theta = \theta \sim Poisson(\theta)\), avec \(\Theta \sim gamma(\alpha, \tau)\) est égal à:
\[\mathsf{Z} = \frac{T}{T + \tau}\]
(Développement à faire en classe)
Proposition 6.8 Le prime de crédibilité de Bühlmann est égale à la prime de crédibilié bayésienne pour le modèle \(S_{i,t}|\Theta = \theta \sim Poisson(\theta)\), avec \(\Theta \sim Gamma(\alpha, \tau)\), et s’exprime ainsi comme:
\[ p_{i, T+1} = \frac{\alpha + s_{\bullet}}{\tau + T}\]
(Développement à faire en classe)
Le résultat précédent est quand même exceptionnel car l’approximation linéaire de Bühlmann génère exactement la même prime de crédibilité que l’approche bayésienne. En d’autres mots, on peut passer par le développement mathématique de Bühlmann au lieu de calculer toutes les distributions et primes du modèle bayésien.
Exemple 6.3 Supposons maintenant le modèle exponentiel-gamma, avec:
\[{f_{S_t}(s_t|\Theta=\theta) = \theta e^{-s_t \theta}}, \text{ pour } s_t > 0, \ \ \ \]
\[{f(\theta) = \frac{\tau^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \theta^{\alpha - 1} e^{-\tau \theta}}, \text{ pour } \theta > 0, \text{ et } \alpha > 1, \tau > 0.\]
Calculez la prime de crédibilité de Bühlmann et comparez avec la prime bayésienne vu précédemment.
(Exemple à faire en classe)
Exemple 6.4 Supposons maintenant le modèle Bernoulli-beta, avec:
\[{\Pr[S_t=s_t|\Theta=\theta] = \theta^{s_t} (1-\theta)^{1-s_t}}, \text{ pour } s_t \in \{0,1\}, \ \ \ \]
\[{f(\theta) = \frac{\Gamma(\alpha+ \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \theta^{\alpha - 1} (1-\theta)^{\beta - 1}}, \text{ pour } \theta \in (0,1), \text{ et } \alpha > 0, \beta > 0.\]
Pour ce modèle, montrez que la prime de crédibilité de Bühlmann est équivalent à la prime bayésienne.
(Exemple à faire à la maison)
Nous verrons dans le prochain chapitre certaines conditions nous assurant d’avoir une approximation exacte de la prime bayésienne par la crédibilité linéaire de Bühlmann.
6.3.2 Distributions non-conjuguées
Pour le cas des modèles qui impliquent des distributions qui ne sont pas conjuguées, la prime de crédibilité linéaire de Bühlmann ne génère pas la même valeur que la prime bayésienne.
Exemple 6.5 Supposons le modèle Poisson-lognormal que nous avons déjà vu au chapitre de la crédibilité bayésienne. Nous avions vu qu’il n’était pas possible (pour le moment) de trouver une équation simple pour exprimer la prime bayésienne.
Calculons la prime de crédibilité de Bühlmann pour le modèle \(S_t|\Theta = \theta \sim Poisson(\theta)\), avec \(\Theta \sim Lognormal(a, b^2)\) avec
\[f_{\Theta}(\theta) = \frac{1}{\theta \sigma \sqrt{2 \pi} } \exp(-\frac{1}{2}\left(\frac{\log(\theta) - a}{b}\right)^2), \text{ pour } \Theta > 0, a \in \mathbf{R} \text{ et } b^2 >0.\]
(Exemple à faire en classe)
Même si le résultat n’est pas aussi élégant que pour les autres modèles, et même si nous savons que la prime de crédibilité de Bühlmann n’est pas égale à la prime bayésienne pour les distributions non-conjuguées, nous sommes au moins capables de générer un certain résultat et ainsi avoir une prime prédictive basée sur l’expérience passée.