3.6 Exercices

1- Sachant que $S \sim PC(\lambda)$, trouvez le critère de stabilité complète si:

$X_i = 1$ pour $i=1, \ldots, N$, avec les valeurs $K = 0.05$ et $p = 0.90$;
$X_i \sim Exponentiel(\tau = 1/2)$ pour $i=1, \ldots, N$, avec les valeurs $K = 0.04$ et $p = 0.95$;
Si la condition en b) n’est pas remplie, quel facteur de crédibilité accorderiez-vous à une observation $s$?

2- Un actuaire croit qu’il faudrait $3000$ sinistres espérés pour accorder une crédibilité complète à l’expérience d’un certain groupe d’assurés si la sévérité est constante. Après analyse, il se rend compte que la sévérité suit plutôt une loi de Pareto de moyenne 1000 avec $\alpha = 3$. Si on suppose que la charge pure $S$ suit une Poisson composée, combien de sinistres espérés sont donc maintenant nécessaires pour accorder une crédibilité de $0.50$, pour le même ordre, à l’expérience de sinistres de ce groupe?

3- On suppose que $S \sim PC(\lambda)$. On accorde une crédibilité partielle de 50% à l’expérience de réclamations lorsqu’on a 120 polices. Combien de polices sont nécessaires pour accorder une crédibilité complète à l’expérience de réclamations $s$?

4- Un actuaire américain calcule qu’il a besoin de $2,500$ polices pour que la variable aléaoire $S$ respecte les conditions de stabilité d’ordre ($K,p$). Une analyse de son portefeuille lui a permis d’établir que ses assurés lui coûtent $10,300\$$ en moyenne. À sa première année, le portefeuille est composé de $803$ polices qui enregistrent des pertes cumulatives de $9,771,000\$$. Calculez la nouvelle prime crédibilisée pour l’année suivante, par assuré.

5- Pendant son stage d’été, un collègue de classe suppose que le montant total des sinistres d’un groupe de $1,000,000$ individus suit une loi de Poisson composée où le montant d’un sinistre individuel est en moyenne de $200\$$ et d’écart-type $400\$$. L’estimé du montant total des sinistres utilisés antérieurement est de $2,000,000\$$. Si votre collègue observe $3001$ sinistres, pour un total de $2,475,000\$$, cette année dans le groupe, quel sera son estimé de la charge pure de crédibilité d’ordre $(K=0.04; p= 0.95)$ pour un individu de ce groupe l’an prochain ?

6- Calculez la prime de crédibilité d’ordre $(K=0.05, p=0.95)$ pour la $4^e$ année à partir des informations suivantes:

La prime de crédibilité pour l’année 3 est de $525 \$$;
Le nombre de sinistre par année suit une loi de Poisson;
Le montant d’un sinistre suit une loi Gamma($\alpha = 5; \tau=1/2$);
Nombre de sinistres réclamés à l’année 1 est de $100$;
Nombre de sinistres réclamés à l’année 2 est de $200$;
Nombre de sinistres réclamés à l’année 3 est de $200$;
Montant total réclamé à l’assureur pour la $3^e$ année est de $850$;
La prime collective est de $250\$$.

7- En utilisant les informations suivantes:

Montant	Prob. Assureur A	Prob. Assureur B
10	0.60	0.45
50	0.30	0.40
100	0.10	0.15

Pour l’assureur A, déterminez le nombre de réclamations nécessaires afin qu’il y ait 95% des chances que l’estimation des coûts basée sur l’expérience de sinistre $s$ soient à plus ou moins 20% de sa vraie valeur;
Pour l’assureur B, déterminez le nombre de réclamations nécessaires afin qu’il y ait 95% des chances que l’estimation des coûts basée sur l’expérience de sinistre $s$ soient à plus ou moins 20% de sa vraie valeur;
Pourquoi l’assureur B a-t-il davantage besoin de réclamations que l’assureur A pour accorder une crédibilité complète à l’expérience de sinistres?

8- La variable aléaoire $S$ suit un modèle de Poisson composé, avec $E[N] = 725$ et $X_i \sim Gamma(100,000; 1/20), i=1, \ldots, N$. La charge pure observée pour la population totale est de $105\$$ par unité d’exposition. Pour un certain assuré, si la charge pure de la dernière année a été de $90\$$, calculez la prime de crédibilité d’ordre $(k =0.05; p=0.95)$ qu’on pourrait lui tarifer l’année suivante.

9- On vous dit que $S \sim PC(\lambda)$. La probabilité qu’un assuré subisse un sinistre dans une année est évaluée à $0.035$. La grandeur minimale du portefeuille de l’assureur pour accorder une crédibilité complète à son expérience est de $103500$. Quelle doit être la grandeur minimale du portefeuille pour accorder une crédibilité de $0.67$ à son expérience ?

10- Vous avez les informations suivantes:

$S = \sum_{i=1}^N X_i$;
$X_i \sim Pareto(3;3), i=1, \ldots, N$;
$N \sim Binomiale Negative(r, 1/3)$.

Calculez la valeur minimale de $r$ afin que l’on puisse accorder une crédibilité complète d’ordre $(K=0.05; p=0.90)$ à l’expérience de sinistres.

11- Une compagnie d’assurance se base sur son expérience des deux dernières années, où elle a encouru en moyenne $1250$ réclamations par année. En supposant une loi de Poisson pour le nombre de réclamations et que la sévérité est indépendante de la fréquence, l’actuaire détermine qu’il chargera une prime crédibilisée de $550\$$. Il tient compte du fait qu’il a observé une charge pure moyenne de $700\$$ pour les deux dernières années et que la prime collective était de 500$.

Si la sévérité des réclamations a une moyenne de $700\$$ et une variance de $17,640,000\$$, trouvez la probabilité qu’un estimé de la crédibilité complète de la charge pure soit à moins de $5\%$ de sa vraie valeur;
Donnez deux arguments que vous pourriez dire aux actuaires de cette compagnie afin de les convaincre de ne pas utiliser la crédibilité américaine.

12- En utilisant un modèle de somme composée pour $S$ avec le nombre de sinistres $N$ suivant une distribution Binomiale Négative de paramètre $(r = 4; \theta= 0.5)$ et une sévérité $X$ suivant une distribution gamma $(\alpha = 2, \tau = 0.5)$, calculez:

$E[S]$;
$Var[S]$.

13- Utilisez les informations suivantes:

Nous supposons que $S$ est un modèle à somme composée;
La variance de $N$ est 4 fois plus grande que $E[N]$;
La moyenne de la sévérité des réclamations est de $1000 \$$;
La variance des sévérités est de $2,000,000 \$$.

On souhaite qu’une observation $s$ ait 99% des chances d’être à plus ou moins 10 % de la moyenne $\mu_S$.

Trouvez le nombre minimum de polices afin d’accorder à $s$ une crédibilité complète pour la fréquence.
Trouvez le nombre minimum de polices afin d’accorder à $s$ une crédibilité complète pour la sévérité;
Trouvez le nombre minimum de polices afin d’accorder à $s$ une crédibilité complète pour le total des sinistres.

14- Complétez les exemples des notes de cours qui n’ont pas été faits en classe.