7.5 Calcul des primes
La forme générale de la distribution conditionnelle et de la distribution de l’hétérogénéité nous permet de trouver des équations simples pour le calcul des différentes primes. On peut aussi montrer que les modèles avec une distribution de la famille exponentielle linéaire et une hétérogénéité conjuguée génèrent une prime de crédibilité linéaire identique à la prime prédictive.
7.5.1 Prime de risque
Proposition 7.14 Pour la distribution conditionnelle et la distribution de l’hétérogénéité définies dans la proposition 7.12, la prime de risque s’exprime comme:
\[\begin{eqnarray*} \mu(\Theta) &=& E[S_t|\Theta] = a'(\Theta) = \frac{\delta}{\delta \Theta} a(\Theta) \end{eqnarray*}\]
Développement
Voir la preuve au début du chapitre.Exemple 7.5 On suppose que \(S_t|\Theta \sim Normal(\Theta, \sigma^2)\), calculez la prime de risque.
(Développement à faire en classe)
7.5.2 Prime collective
Proposition 7.15 Pour la distribution conditionnelle et la distribution de l’hétérogénéité définies dans la proposition 7.12, la prime collective s’exprime comme:
\[\mu = E[\mu(\Theta)] = \frac{\kappa_1}{\kappa_2}.\]
(Développement à faire en classe)
Exercice 7.5 Vérifiez le résultat précédent avec les cas de la Poisson-gamma et de la binomiale-béta.
Développement à faire en exercice
7.5.3 Prime prédictive
Proposition 7.16 Pour la distribution conditionnelle et la distribution de l’hétérogénéité définies dans la proposition 7.12, la prime bayésienne s’exprime comme:
\[E[\mu(\Theta)|s_1,\ldots,s_T] = \frac{\kappa_1^*}{\kappa_2^*}.\]
(Développement à faire en classe)
Proposition 7.17 Pour la distribution conditionnelle et la distribution de l’hétérogénéité définies dans la proposition 7.12, l’approximation linéaire de la prime bayésienne est exacte et s’exprime comme:
\[E[\mu(\Theta)|s_1,\ldots, s_T] = \mathbf{Z} \overline{S} + (1- \mathbf{Z}) \mu,\]
avec un coefficient de crédibilité égal à:
\[\mathbf{Z} = \frac{T}{\kappa_2 + T}\]
(Développement à faire en classe)
En d’autres mots, si nous pouvons exprimer la densité conditionnelle et la densité de l’hétérogénéité sous les formes de la proposition 7.12, les primes de crédibilité linéaires calculées par l’approche de Bühlmann sont exactes.
7.5.4 Généralisation des propositions sur les primes
Dans une section précédente, nous avions vu qu’il fallait parfois proposer une transformation \(\Theta^* = \ell(\Theta)\) pour pouvoir utiliser la proposition 7.12. Il convient de vérifier ici de quelle manière cette transformation affecte le calcul des primes.
Exercice 7.6 On suppose que \(S_t|\Theta = \theta\) est une distribution de Poisson de paramètre \(\theta\), et que \(\Theta\) suit une gamma de paramètres \(\alpha, \tau\). Avec la notation utilisant \(\kappa_1\) et \(\kappa_2\), trouvez
- la prime de risque,
- la prime collective,
- la prime bayésienne,
- le coefficient de crédibilité \(\mathbf{Z}\).
(Développement à faire en classe)
Exercice 7.7 On suppose que \(S_t|\Theta = \theta\) est une distribution de Bernoulli de paramètre \(\theta\), et que \(\Theta\) suit une beta de paramètres \(\alpha, \beta\). Avec la notation utilisant \(\kappa_2\) et \(\kappa_1\), trouvez
- la prime de risque,
- la prime collective,
- la prime bayésienne,
- le coefficient de crédibilité \(\mathbf{Z}\).