4.5 Bernoulli-beta

Supposons maintenant que nous avons \(S_t|\Theta = \theta \sim Bernoulli(\theta)\), avec \(\Theta \sim beta(\alpha, \beta)\). Nous aurions ainsi la fonction de probabilité et la fonction de densité suivante:

\[ \underbrace{\Pr[S_t=s_t|\Theta=\theta] = \theta^{s_t} (1-\theta)^{1-s_t}}_{\text{Distribution conditionnelle}}, \text{ pour } s_t \in \{0,1\}, \ \ \ \]

\[ \underbrace{f(\theta) = \frac{\Gamma(\alpha+ \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \theta^{\alpha - 1} (1-\theta)^{\beta - 1}}_{\text{Distribution a priori}}, \text{ pour } \theta \in (0,1), \text{ et } \alpha > 0, \beta > 0.\]

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Exercice 4.5 Trouvez les distributions suivantes:

1. La distribution marginale de \(S_{t}\);
2. La distribution a posteriori de \(\Theta\), sachant \(S_{1}=s_{1}, \ldots,S_{T}=s_{T}\);
3. La distribution prédictive de \(S_{T+1}\), sachant \(S_{1}=s_{1}, \ldots ,S_{T}=s_{T}\).

(Exercice à faire en classe)

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Exercice 4.6 Trouvez les primes suivantes:

1. La prime de risque;
2. La prime collective;
3. La prime prédictive au temps \(t=T\);
4. La prime chargée à un nouvel assuré;
5. Le coefficient de crédibilité \(\mathsf{Z}\) pour la prime de crédibilité.

(Exercice à faire en classe)

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