4.5 Bernoulli-beta

Supposons maintenant que nous avons $S_t|\Theta = \theta \sim Bernoulli(\theta)$, avec $\Theta \sim beta(\alpha, \beta)$. Nous aurions ainsi la fonction de probabilité et la fonction de densité suivante:

$$\underbrace{\Pr[S_t=s_t|\Theta=\theta] = \theta^{s_t} (1-\theta)^{1-s_t}}_{\text{Distribution conditionnelle}}, \text{ pour } s_t \in \{0,1\}, \ \ \ $$

$$\underbrace{f(\theta) = \frac{\Gamma(\alpha+ \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \theta^{\alpha - 1} (1-\theta)^{\beta - 1}}_{\text{Distribution a priori}}, \text{ pour } \theta \in (0,1), \text{ et } \alpha > 0, \beta > 0.$$

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Exercice 4.5 Trouvez les distributions suivantes:

1. La distribution marginale de $S_{t}$;
2. La distribution a posteriori de $\Theta$, sachant $S_{1}=s_{1}, \ldots,S_{T}=s_{T}$;
3. La distribution prédictive de $S_{T+1}$, sachant $S_{1}=s_{1}, \ldots ,S_{T}=s_{T}$.

(Exercice à faire en classe)

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Exercice 4.6 Trouvez les primes suivantes:

1. La prime de risque;
2. La prime collective;
3. La prime prédictive au temps $t=T$;
4. La prime chargée à un nouvel assuré;
5. Le coefficient de crédibilité $\mathsf{Z}$ pour la prime de crédibilité.

(Exercice à faire en classe)

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