2.4 Exercices

1- Interprétez la formule suivante:

\[ \Pr[(1-K) E[S] < S < (1+K) E[S]] \ge p.\]


2- Sachant que \(S\) obéit à une Normale(\(\mu\), \(\sigma^2\)), trouvez la relation entre \(\mu\) et \(\sigma\) pour avoir une stabilité complète d’ordre:

  1. \((K = 0.04, p = 0.95)\);
  2. \((K = 0.05, p = 0.90)\);
  3. \((K = 0.01, p = 0.98)\).

3- Sachant que \(S \sim PC(\lambda)\), trouvez le critère de stabilité complète si:

  1. \(X_i = 1\) pour \(i=1, \ldots, N\), avec les valeurs \(K = 0.05\) et \(p = 0.90\);
  2. \(X_i \sim Exponentiel(\tau = 1/2)\) pour \(i=1, \ldots, N\), avec les valeurs \(K = 0.04\) et \(p = 0.95\).

4- Soit \(S\) s’exprimant comme \(S = X_1 + X_2+...+X_N\), où \(X_1, X_2, ..., X_N\) sont les montants individuels de sinistres et \(N\) suit une loi de Poisson. Les seuls montant de sinistres possibles sont d’une valeur de \(m\). Calculez le nombre de sinistre espéré minimal afin que \(S\) respecte les conditions de stabilité (complète) d’ordre (\(K=0.04, p=0.95\)).


5- On suppose un modèle à somme composée. On souhaite que le standard de stabilité pour \(S\) soit déterminé de sorte à ce qu’il y ait une probabilité d’au moins 90% que le nombre de réclamations soit à \(\pm 5\%\) du nombre de réclamations moyen. La sévérité moyenne est de \(500\$\). L’écart-type de la sévérité est de \(1000\$\). La fréquence suit une loi de Poisson. Trouvez le nombre minimal de réclamations espéré pour qu’on accorde à une observation \(s\) une crédibilité complète.


6- Pour une variable aléatoire \(S\) suivant un modèle de Poisson composé, où le montant de sinistre individuel a une variance de \(100\) et une espérance de \(5\), calculez le nombre espéré minimal de sinistres pour avoir que \(S\) respecte le critère de stabilité d’ordre (\(K=0.03, p=0.95\)) sur:

  1. Le montant total des sinistres;
  2. Le nombre de sinistres;
  3. Le montant des sinistres individuels.

7- Un actuaire croit qu’il faut un certain nombre de sinistres espérés pour obtenir qu’une observation ait une crédibilité complète pour la charge pure (\(S\)), mais qu’il en faut \(2500\) de moins pour accorder une crédibilité complète de même ordre pour la fréquence. Si le montant d’un sinistre individuel suit une loi de Pareto généralisée de paramètre \(\alpha = 4\), combien faudra-t-il de sinistres espérés pour accorder une crédibilité complète (de même ordre) à une observation \(s\), mais pour la sévérité?


8- Le nombre de sinistres nécessaires pour respecter le critère de stabilité complète d’ordre \((k=0.05; p)\) est de \(1000\). Calculez le nombre de sinistres nécessaires pour respecter le critère de stabilité complète d’ordre \((K=0,01; p)\).


9- Dans un modèle Poisson composé, on considère que la distribution est complètement stable d’ordre (\(K=0.04, p\)) pour la fréquence si le nombre de sinistres observés est supérieur à \(1000\). Quel doit être le nombre de sinistres minimal si on veut accorder une crédibilité d’ordre (\(K=0.25, p\)) à la charge pure observée, si le montant d’un sinistre individuel suit une loi gamma (\(\alpha = 2, \tau = 2)\).


10- On suppose que \(S \sim PC(\lambda)\). La fréquence suit une loi de Poisson, alors que la sévérité a la fonction de densité suivante:

\[ f(x) = 0.0008(50-x) \ , \ 0 \leq x \leq 50 \]

Trouvez le nombre minimal de polices nécessaires pour accorder à l’expérience observée une crédibilité complète d’ordre \((K=0.04; p=0.95)\).


11- Une compagnie assure deux groupes d’assurés ayant la même loi de Poisson pour la fréquence de leurs sinistres individuels. Cependant, les individus du groupe \(A\) ne peuvent faire que des sinistres de \(50\$\) tandis que les individus du groupe \(B\) ont des sinistres obéissant à une loi gamma de moyenne \(50\$\). On sait qu’un nombre espéré de 1000 sinistres est suffisant pour accorder une crédibilité complète à l’expérience de sinistres du groupe \(A\), et que 3000 sinistres sont nécessaires pour accorder une crédibilité complète à l’expérience de sinistres du groupe \(B\) (de même ordre \(K\) et \(p\)).

  1. Calculez les paramètres de la loi gamma modélisant la sévérité des réclamations des assurés du groupe \(B\).
  2. Comparativement au groupe \(A\), pourquoi le groupe \(B\) a-t-il besoin de davantage de sinistres pour qu’on accorde une crédibilité complète à son expérience de sinistres?

12- On suppose que le nombre de sinistres \(N\) suit une distribution de Poisson, que la sévérité des réclamations \(X_i, i=1, \ldots, N\) suit une distribution de Pareto de paramètres \(\alpha = 3\) et \(\lambda=0.05\) et que \(S = X_1 + X_2 + ... + X_N\), où les \(X_i\) sont i.i.d. et indépendants de \(N\).

  1. Pour un assuré quelconque, nous observons \(256\) sinistres et nous accordons une crédibilité complète d’ordre \((K; 0.90)\) à son expérience de sinistres. Quelle est la valeur minimale de \(K\)?
  2. Comment interprétez-vous la variable \(K\)?

13- Complétez les exemples des notes de cours qui n’ont pas été faits en classe.