2.4 Exercices

1- Interprétez la formule suivante:

\[ \Pr[(1-K) E[S] < S < (1+K) E[S]] \ge p.\]

2- Sachant que $S$ obéit à une Normale($\mu$, $\sigma^2$), trouvez la relation entre $\mu$ et $\sigma$ pour avoir une stabilité complète d’ordre:

$(K = 0.04, p = 0.95)$;
$(K = 0.05, p = 0.90)$;
$(K = 0.01, p = 0.98)$.

3- Sachant que $S \sim PC(\lambda)$, trouvez le critère de stabilité complète si:

$X_i = 1$ pour $i=1, \ldots, N$, avec les valeurs $K = 0.05$ et $p = 0.90$;
$X_i \sim Exponentiel(\tau = 1/2)$ pour $i=1, \ldots, N$, avec les valeurs $K = 0.04$ et $p = 0.95$.

4- Soit $S$ s’exprimant comme $S = X_1 + X_2+...+X_N$, où $X_1, X_2, ..., X_N$ sont les montants individuels de sinistres et $N$ suit une loi de Poisson. Les seuls montant de sinistres possibles sont d’une valeur de $m$. Calculez le nombre de sinistre espéré minimal afin que $S$ respecte les conditions de stabilité (complète) d’ordre ($K=0.04, p=0.95$).

5- On suppose un modèle à somme composée. On souhaite que le standard de stabilité pour $S$ soit déterminé de sorte à ce qu’il y ait une probabilité d’au moins 90% que le nombre de réclamations soit à $\pm 5\%$ du nombre de réclamations moyen. La sévérité moyenne est de $500\$$. L’écart-type de la sévérité est de $1000\$$. La fréquence suit une loi de Poisson. Trouvez le nombre minimal de réclamations espéré pour qu’on accorde à une observation $s$ une crédibilité complète.

6- Pour une variable aléatoire $S$ suivant un modèle de Poisson composé, où le montant de sinistre individuel a une variance de $100$ et une espérance de $5$, calculez le nombre espéré minimal de sinistres pour avoir que $S$ respecte le critère de stabilité d’ordre ($K=0.03, p=0.95$) sur:

Le montant total des sinistres;
Le nombre de sinistres;
Le montant des sinistres individuels.

7- Un actuaire croit qu’il faut un certain nombre de sinistres espérés pour obtenir qu’une observation ait une crédibilité complète pour la charge pure ($S$), mais qu’il en faut $2500$ de moins pour accorder une crédibilité complète de même ordre pour la fréquence. Si le montant d’un sinistre individuel suit une loi de Pareto généralisée de paramètre $\alpha = 4$, combien faudra-t-il de sinistres espérés pour accorder une crédibilité complète (de même ordre) à une observation $s$, mais pour la sévérité?

8- Le nombre de sinistres nécessaires pour respecter le critère de stabilité complète d’ordre $(k=0.05; p)$ est de $1000$. Calculez le nombre de sinistres nécessaires pour respecter le critère de stabilité complète d’ordre $(K=0,01; p)$.

9- Dans un modèle Poisson composé, on considère que la distribution est complètement stable d’ordre ($K=0.04, p$) pour la fréquence si le nombre de sinistres observés est supérieur à $1000$. Quel doit être le nombre de sinistres minimal si on veut accorder une crédibilité d’ordre ($K=0.25, p$) à la charge pure observée, si le montant d’un sinistre individuel suit une loi gamma ($\alpha = 2, \tau = 2)$.

10- On suppose que $S \sim PC(\lambda)$. La fréquence suit une loi de Poisson, alors que la sévérité a la fonction de densité suivante:

\[ f(x) = 0.0008(50-x) \ , \ 0 \leq x \leq 50 \]

Trouvez le nombre minimal de polices nécessaires pour accorder à l’expérience observée une crédibilité complète d’ordre $(K=0.04; p=0.95)$.

11- Une compagnie assure deux groupes d’assurés ayant la même loi de Poisson pour la fréquence de leurs sinistres individuels. Cependant, les individus du groupe $A$ ne peuvent faire que des sinistres de $50\$$ tandis que les individus du groupe $B$ ont des sinistres obéissant à une loi gamma de moyenne $50\$$. On sait qu’un nombre espéré de 1000 sinistres est suffisant pour accorder une crédibilité complète à l’expérience de sinistres du groupe $A$, et que 3000 sinistres sont nécessaires pour accorder une crédibilité complète à l’expérience de sinistres du groupe $B$ (de même ordre $K$ et $p$).

Calculez les paramètres de la loi gamma modélisant la sévérité des réclamations des assurés du groupe $B$.
Comparativement au groupe $A$, pourquoi le groupe $B$ a-t-il besoin de davantage de sinistres pour qu’on accorde une crédibilité complète à son expérience de sinistres?

12- On suppose que le nombre de sinistres $N$ suit une distribution de Poisson, que la sévérité des réclamations $X_i, i=1, \ldots, N$ suit une distribution de Pareto de paramètres $\alpha = 3$ et $\lambda=0.05$ et que $S = X_1 + X_2 + ... + X_N$, où les $X_i$ sont i.i.d. et indépendants de $N$.

Pour un assuré quelconque, nous observons $256$ sinistres et nous accordons une crédibilité complète d’ordre $(K; 0.90)$ à son expérience de sinistres. Quelle est la valeur minimale de $K$?
Comment interprétez-vous la variable $K$?

13- Complétez les exemples des notes de cours qui n’ont pas été faits en classe.