2.2 Modèle de somme composée
Proposition 2.3 Un modèle de somme composée s’exprime comme :
\[ S = X_1 + X_2+...+ X_N = \sum_{i=1}^N X_i \]
où les \(X_i\) sont i.i.d. et indépendants de \(N\), avec:
\(E[X_1] = \ldots = E[X_N] = E[X] = \mu_x\);
\(Var[X_1] = \ldots = Var[X_N] = Var[X] = \sigma^2_X\).
Par convention, on suppose que \(S=0\) si \(N=0\).
La variable aléatoire \(S\) provenant d’une somme composée peut représenter deux phénomènes:
1 - L’expérience de sinistre d’un seul assuré, ayant \(N\) sinistres dans l’année;
2- L’expérience de sinistre de la totalité du portefeuille d’assurance, où la compagnie d’assurance subit \(N\) sinistres dans l’année.
Proposition 2.4 Un modèle à somme composée a les moments suivants:
\[\begin{eqnarray*} E[S] &=& E[N]E[X] \\ Var[S] &=& E[X]^2 Var[N] + Var[X] E[N] \end{eqnarray*}\]
(Développements à faire en classe)
Exemple 2.8 L’un des cas les plus simples de somme composée survient lorsque \(N\sim Poisson(\lambda)\). Ce modèle est appelé Poisson Composé et est noté \(S \sim PC(\lambda)\).
Avec \(S \sim PC(\lambda)\), montrez que les deux premiers moments de \(S\) sont:
\[\begin{eqnarray*} E[S] &=& \lambda E[X] \\ Var[S] &=& \lambda E[X^2] \end{eqnarray*}\]
(Exemple à faire en exercice)
Proposition 2.5 L’expression de la somme composée précédente couvre plusieurs situations particulières. En effet:
Dans le cas où \(N\) est fixe (déterministe): Cela signifie que le nombre de sinistres est connu. Nous avons \(E[N] = n\) et \(Var[N] = 0\).
Dans le cas où tous les \(X_i, i=1, \ldots, N\) sont fixes (déterministes): Cela signifie que le coût des sinistres est connu. Nous avons \(E[X] = x\) et \(Var[X] = 0\).
Exemple 2.9 Calculez \(E[S]\) et \(Var[S]\) lorsque
\(N\) est fixe;
Tous les \(X_i, i=1, \ldots, N\) sont fixes.
(Exemple à faire en exercice)
Théorème 2.1 (Théorème de Levy-Lindeberg (théorême limite central)) Notons \(X^{(n)} = \sum_{i=1}^n X_i\), la somme des variables aléatoires \(X_1, X_2,..., X_n\), i.i.d. de moyenne \(\mu_X\) et de variance \(\sigma_X^2\). Nous avons alors:
\[ \frac{X^{(n)} - n \mu_X}{ \sqrt{n} \sigma_X} \xrightarrow{loi} Normal(0,1) \]
où \(\xrightarrow{loi}\) désigne la convergence en loi, laquelle garantit que:
\[ \Pr\left(\frac{X^{(n)} - n \mu_X}{ \sqrt{n} \sigma_X} \le x\right) \rightarrow \Phi(x) \text{ quelque soit $x$ lorsque } n \rightarrow \infty \]
(Preuve: voir les cours MAT1070 ou ACT2100.)
2.2.1 Stabilité de la charge totale
Proposition 2.6 Si \(S \sim PC(\lambda)\), alors la condition de stabilité d’ordre \((K,p)\) pour \(S\) représentant la charge totale, est:
\[\lambda_{cc} = \left(\frac{Q(q)}{K}\right)^2 \left[1 + \frac{Var[X]}{E[X]^2} \right]\]
où \(\lambda_{cc}\) correspond au seuil de stabilité, si on tient compte de la fréquence \(N\) et de la sévérité \(X\).
(Preuve à faire en classe)
Notez l’inégalité dans le développement précédent. La valeur \(\lambda_{cc}\) représente la valeur minimale de l’inégalité et la valeur minimale de \(\lambda\) pour obtenir une stabilité d’ordre \((K,p)\):
\[\lambda_{cc} = \left(\frac{Q(q)}{K}\right)^2 \left[1 + \frac{Var[X]}{E[X]^2} \right]\]
Exemple 2.10 On suppose que la variable aléatoire \(S\) suit une somme composée, avec \(N \sim Poisson(\lambda)\) et \(X_i \sim Exponentiel(\beta)\). Trouvez \(\lambda_{cc}\) d’ordre \((K = 0.05, p=0.95)\).
(Exemple à faire en classe)
Cela signifie que si on veut s’assurer avec une probabilité de 95% qu’une réalisation \(s\) de la variable aléatoire \(S\) soit à plus ou moins de 5% autour de la moyenne, la valeur minimale de \(\lambda\) est de \(3073.167\), peu importe la valeur du paramètre \(\beta\) de l’exponentielle! Vérifions le résultat de l’exemple précédent par simulations.
# initialisation du générateur de nombres aléatoires
set.seed(42)
# critères de stabilité
K <- 0.05
p <- 0.95
# paramètres de la Poisson et Exponentielle
lambda <- 3073.167
beta <- 1/200
mu_s <- lambda/beta
# nb de simulations
n <- 10000
# simulations de Poisson Composé
dat1 <- data.frame()
for (count in 1:n){
x <- rpois(n = 1, lambda)
y <- rexp(n = x, rate=beta)
z <- sum(y)
dat1[count,1] <- ifelse(z > mu_s*(1-K) & z < mu_s*(1+K), 1, 0)
}
100*sum(dat1)/n## [1] 95.2Pour voir que la moyenne de l’exponentielle n’a pas d’impact, on peut faire varier la valeur de \(\beta\).
# initialisation du générateur de nombres aléatoires
set.seed(42)
# paramètres de l'Exponentielle
beta <- 1/2
mu_s <- lambda/beta
# simulations de Poisson Composé
dat1 <- data.frame()
for (count in 1:n){
x <- rpois(n = 1, lambda)
y <- rexp(n = x, rate=beta)
z <- sum(y)
dat1[count,1] <- ifelse(z > mu_s*(1-K) & z < mu_s*(1+K), 1, 0)
}
100*sum(dat1)/n## [1] 95.22.2.2 Stabilité de la fréquence
En jouant avec les propriétés de la somme composée, il est même possible d’appliquer les critères de stabilité sur une seule composante de \(S\), soit la fréquence ou la sévérité.
Proposition 2.7 La condition de stabilité d’ordre \((K,p)\) pour \(S\) sur la composante de la fréquence s’exprime comme:
\[\lambda_{0} = \left(\frac{Q(q)}{K}\right)^2 \]
où \(\lambda_{0}\) correspond au seuil de stabilité, si on tient compte uniquement de la fréquence \(N\).
(Preuve à faire en classe)
Notez encore une fois l’inégalité. La valeur \(\lambda_{0}\) est la valeur minimale de \(\lambda\) pour respecter le seuil de stabilité d’ordre \((K,p)\):
\[\lambda_{0} = \left(\frac{Q(q)}{K}\right)^2 \]
2.2.3 Stabilité de la sévérité
Proposition 2.8 La condition de stabilité d’ordre \((K,p)\) pour \(S\) sur la composante de la sévérité s’exprime comme:
\[ n_{cc}^S = \lambda_{0} \left[\frac{Var[X]}{E[X]^2} \right] \]
où \(n_{cc}^S\) correspond au seuil de stabilité, si on tient compte uniquement de la sévérité des variables \(X_i, i=1, \ldots, n\).
(Preuve à faire en classe)
Exemple 2.11 On suppose que la variable aléatoire \(S\) suit une somme composée, avec \(N \sim Poisson(\lambda)\) et \(X_i \sim Exponentiel(\beta)\). Trouvez \(\lambda_{0}\) et \(n_{cc}^S\) d’ordre \((K = 0.05, p=0.95)\).
(Exemple à faire en classe)
Proposition 2.9 Le critère de stabilité pour une somme composée peut s’exprimer comme la somme des critères de la fréquence et de la sévérité:
\[ \lambda_{cc} = \lambda_{0} + n_{cc}^S \]