1.2 Rappels de notions de tarification
Avant de poursuivre dans la construction de la théorie de la crédibilité, il est important de faire quelques rappels de tarification. En effet, comme nous venons de la voir, la théorie de la crédibilité est fortement liée à la tarification, avec l’historique de sinistres individuel venant corriger la tarification de base.
1.2.1 Exposition au risque
Définition 1.1 L’exposition au risque correspond à la période de temps (en jours, en heure, etc.), sur une durée donnée, pour lequel l’assuré était couvert par l’assurance.
Exemple 1.2 Pour l’année 2015, un assuré sera couvert pour 180 jours si un assuré possède une assurance commençant le 1er juillet 2015 jusqu’au 30 juin 2016.
1.2.2 Sinistralité
La sinistralité en assurance est habituellement considérée comme une variable aléatoire en actuariat. Comme actuaire, nous cherchons ainsi à faire une prédiction pour:
- Le nombre de réclamations;
- Le coût total de réclamations, souvent appelé charge totale (en anglais: Loss Cost).
Il peut être pertinent de normaliser ces variables aléatoires pour obtenir une sinistralité moyenne, pour une exposition de 1. Nous obtenons ainsi:
Définition 1.2 La fréquence correspond au nombre de sinistres observés par unité d’exposition: \[\text{Fréquence} = \frac{\sum \text{Réclamations}}{\sum \text{Exposition}} = \frac{\text{Nombre de réclamations}}{\text{Exposition totale}}\]
Définition 1.3 La charge pure correspond au coût moyen d’assurance par unité d’exposition: \[\text{Charge pure} = \frac{\sum \text{Coûts}}{\sum \text{Exposition}} = \frac{\text{Charge totale}}{\text{Exposition totale}}\]
Dans la tradition actuarielle, ce qui est nommé ici charge pure est appelée prime pure. Par contre, étant donné que le calcul de la prime implique une forme de distance (voir la prochaine sous-section), il est préférable de ne pas utiliser le terme “prime” pour ne pas créer de confusion inutile.
En plus du nombre de réclamations et du coût total, une autre variable aléatoire est communément analysée en actuariat:
Définition 1.4 La sévérité correspond coût moyen d’un sinistre: \[\text{Sévérité} = \frac{\sum \text{Coûts}}{\sum \text{Sinistres}} = \frac{\text{Charge totale}}{\text{Nombre de réclamations}}\]
La sévérité n’est observée que lorsqu’il y a au moins un sinistre. Un assuré sans réclamation a une sévérité non-observée, et n’a pas une sévérité de 0.
Définition 1.5 Une équation montre le lien qui existe un lien entre fréquence, sévérité et charge pure: \[\begin{eqnarray*} \text{ Charge pure} &=& \frac{\text{Charge totale}}{\text{Exposition totale}} \\ &=& \underbrace{\frac{\text{Charge totale}}{\text{Nombre de réclamations}}}_{\text{Sévérité}} \times \underbrace{\frac{\text{Nombre de réclamations}}{\text{Exposition totale}}}_{\text{Fréquence}} \\ &=& \text{Sévérité} \times \text{Fréquence} \end{eqnarray*}\]
Ainsi, en tarification et donc pour le calcul de la prime, les actuaires peuvent:
1- modéliser directement la charge pure, ou encore
2- faire l’exercice en deux étapes, avec la fréquence et la sévérité.
Pour le cours, nous resterons souvent plus général et on utilisera une variable aléatoire \(S\) pour définir la sinistralité en assurance. La variable aléatoire pourra ainsi représenter la fréquence, la sévérité ou la charge pure.
1.2.3 Prime d’assurance
Le principe même de l’assurance se résume à l’échange entre le risque \(S\) d’un assuré (une variable aléatoire) contre une constante \(p\) correspondant à une prime d’assurance.
La prime correspond ainsi à la constante \(p\) qui approche le plus possible la variable aléatoire \(S\). Il existe plusieurs manières de quantifier l’expression la plus proche. En actuariat, il est habituel de choisir la distance \(d_2\) suivante:\[ d_2(S,p) = E[(S-p)^2] \]
Définition 1.6 La constante \(p\) qui d’une variable aléatoire \(S\) au sens de l’erreur quadratique est la moyenne.
Démonstration
Revoir le cours ACT2060 Applications probabilistes des risques actuariels, chapitre 2, pour la démonstration.