7.4 Transformation de l’hétérogénéité

Sachant que n’importe quelle distribution conditionnelle de forme $f(s_t|\Theta=\theta) = c(s_t, \phi) \exp\left[ \frac{s_t \theta - a(\theta)}{\phi}\right]$ est conjuguée à une distribution $g(\theta) = \frac{\exp(\kappa_1 \theta - \kappa_2 a(\theta))}{d(\kappa_1, \kappa_2)}$, la solution est de proposer d’utiliser la fonction de lien canonique pour transformer l’hétérogénéité $\Theta$.

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En supposant la fonction de lien canonique pour transformer $\Theta$. Ainsi, en supposant $\Theta^* = \ell(\Theta)$, on pourrait avoir:

$$f(s_t|\Theta^*=\theta^*) = c(s_t, \phi) \exp\left[ \frac{s_t \theta^* - a(\theta^*)}{\phi}\right]$$

et ainsi obtenir une densité conjuguée de la variable aléatoire $\Delta$ pouvant s’exprimer comme:

$$g(\theta^*) = \frac{\exp(\kappa_1 \theta^* - \kappa_2 a(\theta^*))}{d(\kappa_1, \kappa_2)}$$

La proposition 7.12 s’appliquerait simplement sur l’hétérogénéité $\Theta^* = \ell(\Theta)$.

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Exercice 7.2 On reprend le cas avec $S_t|\Theta = \theta$, une Poisson de paramètre $\theta$.

1. Vérifiez que $\Theta^* = \ell(\Theta)$, avec la fonction de lien canonique de la Poisson permet d’exprimer:

$$f(s_t|\Theta^*=\theta^*) = c(s_t, \phi) \exp\left[ \frac{s_t \theta^* - a(\theta^*)}{\phi}\right]$$

2. Proposez une forme de la distribution de l’hétérogénéité qui serait conjuguée à la Poisson.

(Développement à faire en classe)

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L’exemple précédent signifie la distribution $S_{t}|\Theta^* = \theta^* \sim Poisson(\exp(\theta^*))$ est conjuguée avec la variable aléatoire $\Theta^*$ ayant une densité s’exprimant comme

$$\begin{eqnarray*} g(\theta^*) &=& \frac{\exp(\kappa_1 \theta^* - \kappa_2 \exp(\theta^*) )}{d(\kappa_1, \kappa_2)} \end{eqnarray*}$$

Bien que ce soit une résultat intéressant, ce n’est pas exactement ce qu’on cherchait dans notre questionnement initial. On cherche en effet à trouver la distribution de $\Theta$ qui est conjuguée à $S_{t}|\Theta = \theta$ et non la distribution de $\Theta^*$ qui est conjuguée $S_{t}|\Theta^* = \theta^*$.

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Proposition 7.13 Pour obtenir la densité de $\Theta$ à partir de la densité de $\Theta^* = \ell(\Theta)$, nous devons effectuer un changement de variable. On se rappelle qu’un changement de variable implique l’ajout d’un jacobien dans la fonction de densité.

Revoir le cours MAT1700

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Exercice 7.3 Toujours en suite du cas de la Poisson:
a) Exprimez la densité de l’hétérogénéité conjuguée en fonction de $\Theta$;
b) Trouvez la densité a posteriori de $\Theta|s_1, \ldots, s_T$.

(Développement à faire en classe)

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Exercice 7.4 On suppose que $S_t|\Theta = \theta$ est une distribution de Bernouilli de paramètre $\theta$.
a) Proposez une forme de la distribution de l’hétérogénéité qui serait conjuguée à $\Pr(S_t = s_t|\Theta)$.
b) Trouvez la densité a posteriori de $\Theta|s_1, \ldots, s_T$.

(Développement à faire en classe)

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