7.4 Transformation de l’hétérogénéité
Sachant que n’importe quelle distribution conditionnelle de forme \(f(s_t|\Theta=\theta) = c(s_t, \phi) \exp\left[ \frac{s_t \theta - a(\theta)}{\phi}\right]\) est conjuguée à une distribution \(g(\theta) = \frac{\exp(\kappa_1 \theta - \kappa_2 a(\theta))}{d(\kappa_1, \kappa_2)}\), la solution est de proposer d’utiliser la fonction de lien canonique pour transformer l’hétérogénéité \(\Theta\).
En supposant la fonction de lien canonique pour transformer \(\Theta\). Ainsi, en supposant \(\Theta^* = \ell(\Theta)\), on pourrait avoir:
\[f(s_t|\Theta^*=\theta^*) = c(s_t, \phi) \exp\left[ \frac{s_t \theta^* - a(\theta^*)}{\phi}\right]\]
et ainsi obtenir une densité conjuguée de la variable aléatoire \(\Delta\) pouvant s’exprimer comme:
\[g(\theta^*) = \frac{\exp(\kappa_1 \theta^* - \kappa_2 a(\theta^*))}{d(\kappa_1, \kappa_2)}\]
La proposition 7.12 s’appliquerait simplement sur l’hétérogénéité \(\Theta^* = \ell(\Theta)\).
Exercice 7.2 On reprend le cas avec \(S_t|\Theta = \theta\), une Poisson de paramètre \(\theta\).
- Vérifiez que \(\Theta^* = \ell(\Theta)\), avec la fonction de lien canonique de la Poisson permet d’exprimer:
\[f(s_t|\Theta^*=\theta^*) = c(s_t, \phi) \exp\left[ \frac{s_t \theta^* - a(\theta^*)}{\phi}\right]\]
- Proposez une forme de la distribution de l’hétérogénéité qui serait conjuguée à la Poisson.
(Développement à faire en classe)
L’exemple précédent signifie la distribution \(S_{t}|\Theta^* = \theta^* \sim Poisson(\exp(\theta^*))\) est conjuguée avec la variable aléatoire \(\Theta^*\) ayant une densité s’exprimant comme
\[\begin{eqnarray*} g(\theta^*) &=& \frac{\exp(\kappa_1 \theta^* - \kappa_2 \exp(\theta^*) )}{d(\kappa_1, \kappa_2)} \end{eqnarray*}\]
Bien que ce soit une résultat intéressant, ce n’est pas exactement ce qu’on cherchait dans notre questionnement initial. On cherche en effet à trouver la distribution de \(\Theta\) qui est conjuguée à \(S_{t}|\Theta = \theta\) et non la distribution de \(\Theta^*\) qui est conjuguée \(S_{t}|\Theta^* = \theta^*\).
Proposition 7.13 Pour obtenir la densité de \(\Theta\) à partir de la densité de \(\Theta^* = \ell(\Theta)\), nous devons effectuer un changement de variable. On se rappelle qu’un changement de variable implique l’ajout d’un jacobien dans la fonction de densité.
Revoir le cours MAT1700
Exercice 7.3 Toujours en suite du cas de la Poisson:
a) Exprimez la densité de l’hétérogénéité conjuguée en fonction de \(\Theta\);
b) Trouvez la densité a posteriori de \(\Theta|s_1, \ldots, s_T\).
(Développement à faire en classe)
Exercice 7.4 On suppose que \(S_t|\Theta = \theta\) est une distribution de Bernouilli de paramètre \(\theta\).
a) Proposez une forme de la distribution de l’hétérogénéité qui serait conjuguée à \(\Pr(S_t = s_t|\Theta)\).
b) Trouvez la densité a posteriori de \(\Theta|s_1, \ldots, s_T\).