7.3 Forme des distributions conditionnelles et a priori

Théorème 7.4 (Théorème de Jewell) La prime bayésienne est égale à la prime de crédibilité linéaire de Bühlmann lorsque les conditions suivantes sont vérifiées:
i) La variable aléatoire conditionnelle $S_t|\Theta=\theta$ est membre de la famille exponentielle linéaire.
ii) La variable aléatoire $\Theta$ modélisant l’hétérogénéité est conjuguée à la variable aléatoire $S_t|\Theta$.
iii) La variance de la variable aléatoire $S_t|\Theta=\theta$ est constante pour tous $t=1,...,T$.

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Nous venons de voir ce qu’une une variable aléatoire de la famille exponentielle linéaire. Nous analysons maintenant la seconde partie du théorême.

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Au lieu de travailler avec une variable aléatoire $Y$, reprenons une variable aléatoire représentant la sinistralité de l’assuré $i$ au temps $t$. En laissant de côté l’indice $i$ par simplicité, on suppose donc que nous travaillons avec la distribution conditionnelle $S_t|\Theta$ et une hétérogénéité $\Theta$.

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Proposition 7.12 Si la fonction de densité de la variable aléatoire $S_t|\Theta$ fait partie de la famille exponentielle linéaire et peut s’exprimer comme:

$$f(s_t|\Theta=\theta) = c(s_t, \phi) \exp\left[ \frac{s_t \theta - a(\theta)}{\phi}\right]$$

et que la densité de $\Theta$ de paramètres $\kappa_1$ et $\kappa_2$, peut s’exprimer comme:

$$g(\theta) = \frac{\exp(\kappa_1 \theta - \kappa_2 a(\theta))}{d(\kappa_1, \kappa_2)}$$ où $a(\theta)$ est le même que celui observé dans la densité conditionnelle $f(s_t|\Theta=\theta)$, alors la distribution de la variable aléatoire $\Theta$ est conjuguée à la distribution de $S_t|\Theta$.

(Développement à faire en classe)

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Exercice 7.1 Si $\Theta$ est une variable aléatoire continue, montrez que:

$$d(\kappa_1, \kappa_2) = \int_{D} \exp(\kappa_1 \theta - \kappa_2 a(\theta)) d\theta$$

Exercice à faire à la maison

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7.3.1 Fonctions de lien canoniques

Nous avons vu que la Poisson est membre de la famille exponentielle linéaire. Ainsi, lorsque $Y \sim Poisson(\lambda)$, nous avions:

$$\begin{eqnarray*} c(y, \phi) &=& \frac{1}{y!}\\ \omega &=& \ln(\lambda) \\ a(\omega) &=& \lambda \\ \phi &=& 1 \end{eqnarray*}$$

et donc:

$$Pr[Y=y] = \frac{\lambda^y e^{-\lambda}}{y!} = \frac{1}{y!} \exp(y \ln(\lambda) - \lambda)$$

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Si on travaille maintenant avec une distribution conditionnelle $S_t|\Theta=\theta \sim Poisson(\theta)$, nous avons:

$$Pr[S_t=s_t|\Theta=\theta] = \frac{\theta^{s_t} e^{-\theta}}{s_t!} = \frac{1}{s_t!} \exp(s_t \ln(\theta) - \theta) \ne \frac{1}{s_t!} \exp(s_t \theta - \theta)$$

En comparaison avec la proposition 7.12, nous n’avons pas $s_t \theta$ dans la fonction de probabilité, mais plutôt $s_t \ln(\theta)$.

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Comme nous l’avons vu dans notre survol des distributions de la famille exponentielle linéaire, il faut utiliser la fonction de lien canonique des distributions pour avoir l’expression $s_t \theta$ dans la fonction de densité (seule la loi normale avec sa fonction de lien canonique identitté peut directement s’exprimer dans la forme voulue).

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