3.1 Problèmes de la crédibilité complète
Si on résume rapidement la situation concernant la stabilité et la crédibilité complète:
- Une expérience de sinistre n’est pas stable s’il y a peu de sinistres;
- Une expérience de sinistre qui n’est pas stable n’est pas crédible, car la probabilité est trop grande que l’expérience observée varie substantiellement;
- Si la variable aléatoire \(S\) est stable, une crédibilité complète (100%) est accordée à la réalisation \(s\);
- Si la variable aléatoire \(S\) n’est pas stable, aucune crédibilité (0%) n’est accordée à la réalisation \(s\).
Un modèle permettant une crédibilité partielle à accorder à une réalisation \(s\) doit être développé. Pour y arriver, nous garderons notre même définition de la stabilité mais chercherons à stabiliser une variable aléatoire.
Proposition 3.1 Soit \(S\) une variable aléatoire, et \(Var[S] = \sigma^2_S\). Pour toute valeur de \(\mathsf{Z}\), nous avons \(Var[\mathsf{Z}S] = \mathsf{Z}^2 \sigma^2_S\). Ainsi, si \(0 < \mathsf{Z} < 1\), alors \(Var[\mathsf{Z}S] < Var[S]\).
L’intérêt d’introduire \(0 < \mathsf{Z} < 1\) est qu’il devient possible de modifier une variable aléatoire \(S\) pour qu’elle devienne stable. Notre proposition de stabilité vue en début de chapitre peut ainsi être adaptée.
Proposition 3.2 Pour une valeur de \(\mathsf{Z}\), \(0 < \mathsf{Z} < 1\), une variable aléatoire \(S\) sera qualifiée de stable si la probabilité est forte qu’une réalisation la variable \(\mathsf{Z} S\) ne s’éloigne pas plus qu’une limite fixée arbitrairement.
En termes mathématiques, le principe s’exprime comme:
\[\begin{eqnarray} \Pr[\mathsf{Z} \mu_{S} - K \mu_{S} < \mathsf{Z}S < \mathsf{Z} \mu_{S} + K \mu_{S}] &\ge& p \label{zstab_principle} \end{eqnarray}\]
où :
\(\mathsf{Z}\) = facteur de stabilité;
\(S\) = Variable aléatoire modélisée (fréquence, sévérité ou charge pure);
\(\mu_{S}\) = Espérance de la variable aléatoire \(S\) (inconnue);
\(K\) = Variation autorisée autour de \(\mu_{S}\);
\(p\) = Probabilité que la variation soit plus forte que plus ou moins \(K\).
Proposition 3.3 Si \(\mathsf{Z}S\) respecte la relation précédente pour \(K\) petit (près de 0) et \(p\) grand (près de 1), on dira que la variable aléatoire \(S\) a une stabilité \(\mathsf{Z}\) d’ordre (\(K,p\)).
Une variable aléatoire sera stable si nous tirons au hasard une réalisation \(s\) d’une variable aléatoire \(S\) ayant une stabilité \(\mathsf{Z}\) d’ordre (\(K,p\)), il y a une probabilité \(p\) que l’observation \(\mathsf{Z} \times s\) soit à plus ou moins \(K \mu_S\) de \(\mathsf{Z} \mu_S\).
3.1.1 Exemple : Loi uniforme
Exemple 3.1 On suppose que \(S \sim Uniforme(100,150)\). Trouvez le facteur de stabilité \(\mathsf{Z}\) d’ordre \((K=0.1, p=0.90)\) qui doit être accordée à \(S\).
(Exemple à faire en classe)
Avec \(\mu_s = 125\) et \(\mathsf{Z} = 5/9\), cela signifie qu’il faut corriger la variable \(S\) par un facteur de \(\mathsf{Z} = 5/9\) afin que \(\mathsf{Z} S\) soit stable d’ordre (\(K=0.1,p =0.90\)). En d’autres mots, la valeur \(\mathsf{Z} s\), avec \(s\) un nombre aléatoire pigé de la variable aléatoire \(S\), a 90% de chances de varier entre \(\mathsf{Z} \times \mu_s \pm K \times \mu_s\), c’est-à-dire entre \([56.9; 81.9]\).
Nous pouvons vérifier le résultat de l’exemple précédent par simulations. Dans un premier temps, on peut vérifier qu’une \(Uniforme(100,150)\) ne respecte pas le critère de stabilité.
# initialisation du générateur de nombres aléatoires
set.seed(42)
# paramètres de l'Uniforme
a <- 100
b <- 150
# moyenne de l'Uniforme
mu <- (a+b)/2
# critères de stabilité
K <- 0.10
p <- 0.90
# nb de simulations
n <- 100000
x <- data.frame(runif(n, min = a, max = b))
x %>%
mutate(y = ifelse(x > mu*(1-K) & x < mu*(1+K), 1, 0)) %>%
summarize(percent = 100*sum(y)/n) ## percent
## 1 49.727Si on ajoute le facteur de stabilité \(\mathsf{Z}\) au modèle, nous pouvons vérifier si \(\mathsf{Z} s \in [56.9; 81.9]\):
# initialisation du générateur de nombres aléatoires
Z <- 5/9
x %>%
mutate(y = ifelse(Z*x > Z*mu - mu*K & Z*x < Z*mu+ mu*K, 1, 0)) %>%
summarize(percent = 100*sum(y)/n) ## percent
## 1 89.882