3.1 Problèmes de la crédibilité complète
Si on résume rapidement la situation concernant la stabilité et la crédibilité complète:
- Une expérience de sinistre n’est pas stable s’il y a peu de sinistres;
- Une expérience de sinistre qui n’est pas stable n’est pas crédible, car la probabilité est trop grande que l’expérience observée varie substantiellement;
- Si la variable aléatoire S est stable, une crédibilité complète (100%) est accordée à la réalisation s;
- Si la variable aléatoire S n’est pas stable, aucune crédibilité (0%) n’est accordée à la réalisation s.
Un modèle permettant une crédibilité partielle à accorder à une réalisation s doit être développé. Pour y arriver, nous garderons notre même définition de la stabilité mais chercherons à stabiliser une variable aléatoire.
Proposition 3.1 Soit S une variable aléatoire, et Var[S]=σ2S. Pour toute valeur de Z, nous avons Var[ZS]=Z2σ2S. Ainsi, si 0<Z<1, alors Var[ZS]<Var[S].
L’intérêt d’introduire 0<Z<1 est qu’il devient possible de modifier une variable aléatoire S pour qu’elle devienne stable. Notre proposition de stabilité vue en début de chapitre peut ainsi être adaptée.
Proposition 3.2 Pour une valeur de Z, 0<Z<1, une variable aléatoire S sera qualifiée de stable si la probabilité est forte qu’une réalisation la variable ZS ne s’éloigne pas plus qu’une limite fixée arbitrairement.
En termes mathématiques, le principe s’exprime comme:
Pr
où :
\mathsf{Z} = facteur de stabilité;
S = Variable aléatoire modélisée (fréquence, sévérité ou charge pure);
\mu_{S} = Espérance de la variable aléatoire S (inconnue);
K = Variation autorisée autour de \mu_{S};
p = Probabilité que la variation soit plus forte que plus ou moins K.
Proposition 3.3 Si \mathsf{Z}S respecte la relation précédente pour K petit (près de 0) et p grand (près de 1), on dira que la variable aléatoire S a une stabilité \mathsf{Z} d’ordre (K,p).
Une variable aléatoire sera stable si nous tirons au hasard une réalisation s d’une variable aléatoire S ayant une stabilité \mathsf{Z} d’ordre (K,p), il y a une probabilité p que l’observation \mathsf{Z} \times s soit à plus ou moins K \mu_S de \mathsf{Z} \mu_S.
3.1.1 Exemple : Loi uniforme
Exemple 3.1 On suppose que S \sim Uniforme(100,150). Trouvez le facteur de stabilité \mathsf{Z} d’ordre (K=0.1, p=0.90) qui doit être accordée à S.
(Exemple à faire en classe)
Avec \mu_s = 125 et \mathsf{Z} = 5/9, cela signifie qu’il faut corriger la variable S par un facteur de \mathsf{Z} = 5/9 afin que \mathsf{Z} S soit stable d’ordre (K=0.1,p =0.90). En d’autres mots, la valeur \mathsf{Z} s, avec s un nombre aléatoire pigé de la variable aléatoire S, a 90% de chances de varier entre \mathsf{Z} \times \mu_s \pm K \times \mu_s, c’est-à-dire entre [56.9; 81.9].
Nous pouvons vérifier le résultat de l’exemple précédent par simulations. Dans un premier temps, on peut vérifier qu’une Uniforme(100,150) ne respecte pas le critère de stabilité.
# initialisation du générateur de nombres aléatoires
set.seed(42)
# paramètres de l'Uniforme
a <- 100
b <- 150
# moyenne de l'Uniforme
mu <- (a+b)/2
# critères de stabilité
K <- 0.10
p <- 0.90
# nb de simulations
n <- 100000
x <- data.frame(runif(n, min = a, max = b))
x %>%
mutate(y = ifelse(x > mu*(1-K) & x < mu*(1+K), 1, 0)) %>%
summarize(percent = 100*sum(y)/n) ## percent
## 1 49.727Si on ajoute le facteur de stabilité \mathsf{Z} au modèle, nous pouvons vérifier si \mathsf{Z} s \in [56.9; 81.9]:
# initialisation du générateur de nombres aléatoires
Z <- 5/9
x %>%
mutate(y = ifelse(Z*x > Z*mu - mu*K & Z*x < Z*mu+ mu*K, 1, 0)) %>%
summarize(percent = 100*sum(y)/n) ## percent
## 1 89.882