7.6 Exercices

1- Prouvez que les densités suivantes de la variable aléatoire \(S_t|\Theta=\theta\) sont membres de la famille exponentielle en trouvant \(c(s_t, \phi)\) et \(a(\theta)\) pour chacune d’elles:

1. Binomiale\((n, \theta)\), où \(n\) est connu;
   
2. Normale(\(\theta\), \(\sigma^2\)), où \(\sigma^2\) est connu;
   
3. Gamma(\(\theta\), \(\lambda\)), où \(\lambda\) est connu;
   
4. Exponentielle(\(\theta\)).

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2 - En utilisant la notation de théorême de Jewell, démontrez que la densité de \(S_t|\Theta=\theta \sim Gamma(a, \theta)\) est conjuguée à celle de \(\Theta \sim Gamma(\alpha, \tau)\) et trouvez les paramètres de la distribution de \(\Theta\) a posteriori.

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3- Pour le cas \(S_t|\Theta=\theta \sim Geometrique(\theta)\) avec \(\Theta \sim Beta(\alpha, \beta)\), trouvez \(c(s_t, \phi)\), \(a(\theta)\), \(\kappa_1\) et \(\kappa_2\) selon le modèle de Jewell.

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4- On suppose \(S_t|\theta \sim Exponentielle(\theta)\), de moyenne \(\frac{1}{\theta}\).

1. Trouvez la forme de la distribution de \(\Theta\) conjuguée à \(S_t|\Theta=\theta\);
   
2. Si le domaine de \(\Theta \in [0, \infty)\), quelle est la distribution en a)?

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5- Par le modèle de Jewell, prouvez que vous êtes dans le cas Normale/Normale si \(c(s_t, \phi) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp(-\frac{s_t^2}{2}), -\infty < s_t < \infty\). De plus, trouvez les paramètres de la densité conditionnelle et les paramètres de la distribution de l’hétérogénéité conjuguée.

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6- Complétez les démonstrations des notes de cours qui n’ont pas été faites en classe.

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