7.6 Exercices

1- Prouvez que les densités suivantes de la variable aléatoire $S_t|\Theta=\theta$ sont membres de la famille exponentielle en trouvant $c(s_t, \phi)$ et $a(\theta)$ pour chacune d’elles:

1. Binomiale$(n, \theta)$, où $n$ est connu;
   
2. Normale($\theta$, $\sigma^2$), où $\sigma^2$ est connu;
   
3. Gamma($\theta$, $\lambda$), où $\lambda$ est connu;
   
4. Exponentielle($\theta$).

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2 - En utilisant la notation de théorême de Jewell, démontrez que la densité de $S_t|\Theta=\theta \sim Gamma(a, \theta)$ est conjuguée à celle de $\Theta \sim Gamma(\alpha, \tau)$ et trouvez les paramètres de la distribution de $\Theta$ a posteriori.

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3- Pour le cas $S_t|\Theta=\theta \sim Geometrique(\theta)$ avec $\Theta \sim Beta(\alpha, \beta)$, trouvez $c(s_t, \phi)$, $a(\theta)$, $\kappa_1$ et $\kappa_2$ selon le modèle de Jewell.

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4- On suppose $S_t|\theta \sim Exponentielle(\theta)$, de moyenne $\frac{1}{\theta}$.

1. Trouvez la forme de la distribution de $\Theta$ conjuguée à $S_t|\Theta=\theta$;
   
2. Si le domaine de $\Theta \in [0, \infty)$, quelle est la distribution en a)?

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5- Par le modèle de Jewell, prouvez que vous êtes dans le cas Normale/Normale si $c(s_t, \phi) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp(-\frac{s_t^2}{2}), -\infty < s_t < \infty$. De plus, trouvez les paramètres de la densité conditionnelle et les paramètres de la distribution de l’hétérogénéité conjuguée.

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6- Complétez les démonstrations des notes de cours qui n’ont pas été faites en classe.

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