9.3 Indépendance des hétérogénéités

Une première manière d’analyser les modèles fréquence-sévérité est de supposer l’indépendance entre l’hétérogénéité de la fréquence de réclamations et de la sévérité de réclamations. On introduit donc:

• un paramètre d’hétérogénéité pour la fréquence, qu’on notera $\Theta_N$, et
  
• un paramètre d hétérogénéité pour la sévérité, qu’on notera $\Theta_X$.

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Formellement, on pourrait ainsi avoir un modèle ayant les hypothèses suivantes:

1. Le nombre de réclamation du contrat $t$, noté $N_t$, conditionnellement à $\Theta_N=\theta_N$, suit une certaine distribution de moyenne $\lambda_t \theta_N$, pour $k=t,\ldots, T$;
   
2. La sévérité de la $k^e$ réclamation, noté $X_{k}$, conditionnellement à $\Theta_X=\theta_X$, suit une certaine distribution de moyenne $\kappa_{k} \theta_X$, pour $k=1,\ldots, n_{\bullet}$;
   
3. Les hétérogénéités $\Theta_N$ et $\Theta_X$ sont indépendantes;
   
4. Conditionnellement à $\Theta_N$, les variables $N_t$ pour $t=1, \ldots, T$ sont indépendantes.
   
5. Conditionnellement à $\Theta_X$, les variables $X_{k}$ pour $k=1, \ldots, n_{\bullet}$ sont indépendantes.
   
6. Conditionnellement à $\Theta_N$ et $\Theta_X$, les variables $N_t$ et $X_{k}$ sont indépendantes pour $t=1, \ldots, T$, et $k=1, \ldots, n_{\bullet}$.

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9.3.1 Modélisation de la fréquence et de la sévérité

L’indépendance des hétérogénéités $\Theta_N$ et $\Theta_X$ fait en sorte que le nombre de réclamations passées ne donne pas d’information sur la sévérité, et que les sévérités passées ne donne pas d’information sur le nombre de réclamations.

Concrètement, cela signifie qu’on travaillera de manière indépendante pour modéliser d’un côté la fréquence et de l’autre côté pour modéliser la sévérité.

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Proposition 9.4 Les distributions marginales de la fréquence et de la sévérité se calculent comme à l’habitude:

$$\begin{eqnarray*} f_{N_{t}}(n) = \int_{\Theta} f_{N_{t}}(n|\Theta_N = \theta_N) f_{\Theta_N}(\theta_N) d\theta_N \\ f_{X_{k}}(x) = \int_{\Theta} f_{X_{k}}(x|\Theta_X = \theta_X) f_{\Theta_X}(\theta_X) d\theta_X \end{eqnarray*}$$

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Proposition 9.5 Puisque nous supposons que l’hétérogénéité de la fréquence et l’hétérogénéité de la sévérité sont indépendantes, les distributions a posteriori de l’hétérogénéité de la fréquence et de l’hétérogénéité de la sévérité se calculent comme à l’habitude:

$$\begin{eqnarray*} f_{\Theta_N|n_{(1:T)}}(\theta_N|n_{(1:T)}) \propto \left(\prod_{t=1}^T f_{N_{t}}(n_t|\Theta_N = \theta_N) \right) f_{\Theta_N}(\theta_N) \\ f_{\Theta_X|x_{(1:n_{\bullet})}}(\theta_X|x_{(1:n_{\bullet})}) \propto \left(\prod_{k=1}^{n_{\bullet}} f_{X_{k}}(x_{k}|\Theta_X = \theta_X) \right) f_{\Theta_X}(\theta_X) \end{eqnarray*}$$

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Exemple 9.2 On pourrait donc avoir un modèle avec des distributions conditionnelles égales à:

• $N_t|\Theta_N=\theta_N \sim Poisson(\lambda_t \theta_N)$ pour $t=1 \ldots, T$,
  
• $X_{k}|\Theta_X = \theta_X \sim Gamma(\kappa_k; \frac{1}{\theta_X})$, pour $k=1 \ldots, n_{\bullet}$

avec $\lambda_t$ et $\kappa_k$ les primes a priori de la fréquence et de la sévérité, respectivement. Nous supposons aussi les distribution d’hétérogénéité suivantes.

• Pour la fréquence:

  Profils fréquence	#1	#2
  $\Theta_N$	0.75	1.25
  $\Pr(\Theta_N)$	50%	50%

• Pour la sévérité:

Profils sévérité	#1	#2	#3
$\Theta_X$	0.6	1.00	1.16
$\Pr(\Theta_X)$	20%	30%	50%

On supposera que les hétérogénéités $\Theta_N$ et $\Theta_X$ sont indépendantes. Nous avons ainsi 2 types d’assurés pour la fréquence de réclamations, et 3 types d’assurés pour la sévérité.

Calculez les éléments suivants pour la fréquence et pour la sévérité:

1. La prime collective,
   
2. La prime prédictive de l’assuré au temps $T=4$, pour les composantes de fréquence et de la sévérité si un assuré a eu l’historique de réclamations suivant:

$t$	$\lambda_t$	$\kappa_t$	$n_t$	$x_{t,1}$	$x_{t,2}$	$x_{t,3}$
1	0.250	5000	3	1000	3500	7500
2	0.195	7500	0	.	.	.
3	0.125	8625	2	11,500	450	.
4	0.265	6500	?	?	?	?

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(Exercice à faire en classe)

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En ayant en main les primes collectives et les primes prédictives de la composante fréquence et de la composante sévérité, il est donc possible de calculer une prime globale pour l’assuré.

Proposition 9.6 En sachant que la charge totale peut s’exprimer comme le produit de la fréquence et le sévérité, lorsque nous supposons que nous supposons l’indépendance de l’hétérogénéité de la fréquence et de la sévérité, nous pouvons calculer la prime collective de la charge totale comme:

$$E[S_t] = E[N_t \times X_k] = E[N_t] \times E[X_k]$$

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Attention: ce résultat ne tient que dans les modèles qui supposent une indépendance entre la fréquence et la sévérité.

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Similairement, nous pouvons aussi calculer la prime prédictive de calculant indépendamment la composante fréquence et la composante sévérité.

Proposition 9.7 En sachant que la charge totale peut s’exprimer comme le produit de la fréquence et le sévérité, lorsque nous supposons que nous supposons l’indépendance de l’hétérogénéité de la fréquence et de la sévérité, nous pouvons calculer la prime prédictive de la charge totale comme:

$$\begin{align*} E[S_{T+1}|n_{(1:T)},x_{(1:n_{\bullet})}] &= E[N_{T+1}|n_{(1:T)},x_{(1:n_{\bullet})}] \times E[X_{n_{\bullet}+1}|n_{(1:T)},x_{(1:n_{\bullet})}] \\ &= E[N_{T+1}|n_{(1:T)}] \times E[X_{n_{\bullet}+1}|x_{(1:n_{\bullet})}] \end{align*}$$

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Exemple 9.3 Nous reprenons l’exemple précédent. Calculez la prime collective et la prime prédictive de la charge totale comme produit de la fréquence et de la sévérité.

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(Exercice à faire en exercice)

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