2.1 ベクトル空間と部分ベクトル空間

いま，\(\phi\)を空集合として，以下のようにベクトル空間を定義する．

Definition 2.1 (ベクトル空間) 集合\(V(\neq \phi)\)を考える．\(V\)上に加法（足算）とスカラー倍（定数倍）が定義されていて，\({}^{\forall}\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \boldsymbol v_3 \in V, c_1, c_2 \in \mathbb R\)に対して，次の法則が成り立つ時，\(V\)を\(\mathbb R\)上のベクトル空間という．

  1. \({}^{\forall} \boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2 \in V \Rightarrow \boldsymbol v_1 + \boldsymbol v_2 \in V\)

  2. 加法については順序を変えても結果が変わらない．つまり，\(\boldsymbol v_1 + \boldsymbol v_2 = \boldsymbol v_2 + \boldsymbol v_1\)

  3. 加法について結合法則が成り立つ．\((\boldsymbol v_1 + \boldsymbol v_2) + \boldsymbol v_3 = \boldsymbol v_1 + (\boldsymbol v_2 + \boldsymbol v_3)\)

  4. \({}^{\exists} \boldsymbol 0 \text{ s.t } {}^{\forall} \boldsymbol v \in V, \boldsymbol v + \boldsymbol 0 = \boldsymbol v\)．このような元\(\boldsymbol 0\)を零元と呼ぶ．

  5. \({}^{\forall} \boldsymbol v \in V, {}^{\exists} \boldsymbol v^{-1} \in V \text{ s.t } \boldsymbol v + \boldsymbol v^{-1} = \boldsymbol 0\)．このような元を逆元と呼ぶ．

  6. \({}^{\forall} \boldsymbol v, {}^{\forall} c \in \mathbb R, v' = c \boldsymbol v \in V\)．これは任意の\(V\)上のベクトルを定数倍しても，そのベクトルもまた\(V\)に含まれるということを保証している．

  7. \(c_1 (\boldsymbol v_1 + \boldsymbol v_2) = c_1 \boldsymbol v_1 + c_1 \boldsymbol v_2\)

  8. \((c_1 + c_2) \boldsymbol v_1 = c_1 \boldsymbol v_1 + c_2 \boldsymbol v_1\)

  9. \((c_1 c_2)\boldsymbol v_1 = c_1(c_2 \boldsymbol v_1)\)

  10. \(1 \boldsymbol v_1 = \boldsymbol v_1\)

特に，全ての\(n\)次元ベクトルを集めた集合\(V^{n}\)を\(n\)次元ベクトル空間と呼ぶ．

\(\mathbb R^{n}\)は\(n\)次元の実数ベクトル全体の集合である．上記の定義ではベクトルの要素の性質までは言及していないことに注意されたい． \(V = \mathbb R^{n}\)のとき，\(\boldsymbol 0\)は\(V\)上の零元となる．

次にベクトル空間の性質について紹介する．

Theorem 2.1 (ベクトル空間の性質) ベクトル空間\(V\)は次のような性質を持つ．

  1. \(V\)上の零元\(\boldsymbol 0\)は唯一つだけ存在する．
  2. \({}^{\forall}\boldsymbol v_1 + \boldsymbol v_2 \in V\)において，\(\boldsymbol v_1 + \boldsymbol x = \boldsymbol v_2\)を満たす\(\boldsymbol x \in V\)は唯一つ存在し，\(\boldsymbol x = \boldsymbol v_2 - \boldsymbol v_1\)である．

ベクトル空間も集合の一つであるため，集合における部分集合のようなものを考えることができる． ただし，部分集合を取った際にベクトル空間の定義を満たしていないものについては今はあまり興味がないので，ベクトル空間の定義は満たしつつベクトル空間\(V\)の部分集合となっているようなものを考えよう．

Definition 2.2 (部分ベクトル空間) ベクトル空間\(V\)の部分集合\(W\)に対して，以下が成り立つ時，\(W%\)を\(V\)の部分ベクトル空間という．

  1. \(V\)の零元\(\boldsymbol 0\)に対して，\(\boldsymbol 0 \in W\)
  2. \({}^{\forall} \boldsymbol w_1, \boldsymbol w_2 \in W \Rightarrow \boldsymbol w_1 + \boldsymbol w_2 \in W\)
  3. \({}^{\forall} \boldsymbol w \in W, c {}^{\forall} \in \mathbb R\Rightarrow c \boldsymbol w \in W\)

例えば，\(W_1 = \{ \boldsymbol x = (x_1, \ldots, x_n)^{\top} \in \mathbb R^{n} | x_i = 0 \}\)や，\(W_2 = \{ \boldsymbol x = (x_1, \ldots, x_n)^{\top} | x_1 = \cdots = x_n = x, x \in \mathbb R\}\)のようなベクトル空間は，\(\mathbb R^{n}\)というベクトル空間の部分ベクトル空間となっている．

Exercise 2.1 (ベクトル空間) ベクトル空間の定義のうち\({}^{\forall} \boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2 \in V \Rightarrow \boldsymbol v_1 + \boldsymbol v_2 \in V\)という点について，これが\(\mathbb R^{3}\)において成り立つことを示せ．