1.3 行列

次に，行列について以下のように定義する．

Definition 1.2 (行列) ${}^{\forall}n, m \in \mathbb N, x_{ij} \in \mathbb R, i = 1,2,\ldots,n, j=1,2,\ldots,m$に対して，

$$\begin{align} X = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & \cdots & x_{1m} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & \cdots & x_{2m} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & x_{n3} & \cdots & x_{nm} \end{pmatrix} \end{align}$$

のように，$n$行$m$列に要素$x_{ij}$を並べたものを行列という．また，行列をサイズを$n \times m$などと呼び，実数を要素に持つ$n \times m$行列全体の集合を$\mathbb R^{n \times m}$と表す．

特に全ての成分が$0$であるような行列をゼロ行列と呼び$O$で表すことが多い．

行列の各要素を行数$i$と列数$j$を用いて$X(i,j)$と表すこともある．これは行列$X$における$i$行$j$列成分を意味している．

行列はベクトルを拡張したものと捉えることができる．つまり$n \times m$行列は，$m$次元の行ベクトルを$n$個縦に並べたもの，または$n$次元の列ベクトルを$m$個横に並べたものとみなすことができる． ここで，$i$行目の行ベクトルを$\boldsymbol x_{i\cdot}$，$j$行目の列ベクトルを$\boldsymbol x_{\cdot j}$と表せば$n \times m$行列$X$は

$$\begin{align} X = \begin{pmatrix} \boldsymbol x_{1 \cdot} \\ \boldsymbol x_{2 \cdot} \\ \vdots \\ \boldsymbol x_{n \cdot} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol x_{\cdot 1} & \boldsymbol x_{\cdot 2} & \cdots & \boldsymbol x_{\cdot m} \end{pmatrix} \end{align}$$

とベクトルを要素にもつベクトルと表すこともできる．

Exercise 1.3 (行列のサイズ) 次の問いに答えよ．

1. 以下の行列のサイズをそれぞれ答えよ

$$\begin{align} \begin{matrix} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} & B = \begin{pmatrix} 20 & 22 & 10 & 22 & 13 & 40 \end{pmatrix} \end{matrix} \end{align}$$

2. サイズが$4 \times 3$の実数行列全体の集合を記号を用いて表せ．