1.17 対角行列

\(A \in \mathbb R^{n \times n}\)が対角行列であるとは，\(I_{n}(i,i) \neq 0\)で\(I_n(i,j) = 0 (i \neq j)\)であることをいう．ただし\(i,j=1,2,\ldots,n\)である．

単位行列は対角成分\(I_n(i,i) = 1\)という要請があったが，対角行列は非ゼロであることを要請している． つまり，単位行列は対角行列の特別な場合である．

\[ A = \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 & & & \\ & a_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_n \\ \end{pmatrix} \]

このように，対角行列であることが明記されていれば，\(0\)の部分を省略して書くこともしばしばある．

また，対角成分よりも上または下の成分が全て\(0\)であるような行列を上三角行列，下三角行列と呼ぶ． つまり以下のような行列である．

\[\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & \Huge 0 & \ddots & \vdots \\ & & & a_{nn} \\ \end{pmatrix}\]

,

\[\begin{pmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & \Huge 0 & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}\]