1.21 行列の基本変形

行列には基本変形（elementary transformation）と呼ばれる操作があり，これらはある特定の行列を掛けた結果と見なすこともできる． その特定の行列を基本行列と呼び，それぞれ次のような定義となっている．

Definition 1.10 (基本行列) 次のような行列を$n$次の基本行列と呼ぶ．

1. $P_{(i;c)}$

これは左から$A$との行列積を取った時に，$i$行目の要素を$c$倍する行列である． 具体的には，$I_{n}$の$(i,i)$成分だけが$c$となっているような行列である．

$$\begin{align} P_{(2;3)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$$

2. $Q_{(i,j)}$

これは左から$A$との行列積を取った時に，$i$行目と$j$行目を入れ替える操作である． 具体的には，$I_n$の$i$行目と$j$行目が入れ替わった行列である．

$$\begin{align} Q_{(1,3)} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$$

3. $R_{(i,j;c)}$

これは左から$A$との行列積を取った時に，$j$行目を$c$倍して$i$行目に加える操作である． 具体的には$I_n$の$(i,j)$成分が$c$となっている行列である．

$$\begin{align} R_{(1,2;3)} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$$