1.18 対称行列

ある行列\(A \in \mathbb R^{n\times n}\)が対称行列であるとは，\(A^{\top} = A\)が成り立つことである． 定義から明らかなようにもし\(A \in \mathbb R^{n\times m}, n \neq m\)の時はそのサイズから\(A^{\top} \neq A\)となることがわかるので 対称行列は正方行列である．

Exercise 1.12 (対称行列) 次の問いに答えよ．

1. 次の行列のが対称行列かどうか判定せよ．

\[\begin{align} \begin{matrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \hspace{5mm} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{matrix} \end{align}\]

2. 次の行列が対称行列となるために文字\(a,b,c\)がとるべき値を答えよ

\[\begin{align} \begin{matrix} \begin{pmatrix} a & 10 \\ 10 & 4 \end{pmatrix}, \hspace{5mm} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\ a & b & 1 \\ c & 1 & 10 \end{pmatrix} \end{matrix} \end{align}\]