2.6 線形変換と直交行列

$\mathbb R^{n} \longrightarrow \mathbb R^{n}$への線形変換のうち，「直交変換」と呼ばれる特別な写像が存在する．直交変換とは，線形写像に対応する$n$次正方行列が，直交行列である場合を意味している．

最もよく知られる直交変換の一つとして次のような回転行列$A$が挙げられる．

\[ \begin{align} A = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \end{align} \] この行列にベクトル$\boldsymbol x \in \mathbb R^{2}$を掛けると，結果として原点を中心に角度$\theta$だけ回転させたベクトルが得られることが知られている．

実際，$\boldsymbol x = (1,2)^\top,\theta = \pi/2$とすると，

\[ \begin{align} \begin{pmatrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{align} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \]

となる．これを図示すると以下のようになる．

青い線が$\boldsymbol x$で$A$を左からかけた結果がオレンジ色の線となっていて確かに$\pi/2$つまり90°分回転していることが見てとれる．

また，$A$の逆行列$A^{-1}$は$A^{\top}$となる（計算によりすぐに確かめられる）．このような性質を持つ正方行列を直交行列と呼ぶ．

Definition 2.11 (直交行列) $A \in \mathbb R^{n}$について，$A = A = I_n $が成立する時，行列$A$を$n$次の直交行列と呼ぶ．

行列の積の定義を思い出して見れば，直交行列は自身と同じ行または列との内積が$1$，自身以外の行または列との内積が$0$であることを意味している．これが直交の由来である．

Theorem 2.9 (直交行列の性質) 直交行列は以下のような性質を持つことが知られている．いま，$P,Q$を$n$次の直交行列として

$P^{-1} = P^{\top}$
$PQ$も直交行列
$\| P \|^2 = n$

Exercise 2.5 (直交行列の判定) 次の行列がそれぞれ直交行列であるかどうか判定せよ．