1.16 逆行列と正則行列

実数の掛け算では，\(3\)に対して\(1/3\)を掛けると\(1\)となるように，ある数\(x\)に対して逆数\(1/x\)を掛けると\(1\)になるものがある． このような関係を行列積に拡張したものが逆行列である．

Definition 1.6 (逆行列) \(A \in \mathbb R^{n \times n}\)に対して，

\[\begin{align} AX = I_n, \hspace{5mm} YA = I_n \end{align}\]

のように行列積の結果が単位行列になるような行列を\(A\)の逆行列という．これを\(A^{-1}\)と表す．

逆行列は実数における逆数のように簡単に求めることはできない．その方法については後述する． また，実数においては\(0\)を除いて逆数を持つことは想像が着くだろう． しかし正方行列においてはゼロ行列ではなくとも，一般に逆行列を持たないものが存在する． 逆行列を持つかどうかは重要な情報であるので，この性質に行列を特徴づける． 具体的には逆行列を持つ正方行列を正則行列であるといい，また単に正則であるという．逆行列を持たない場合は特異あるいは非正則と呼ぶ．

Exercise 1.11 (逆行列) 次の行列演算を行い，一方の行列が他方の行列の逆行列となっていることを確かめよ．

\[\begin{align} (1) \hspace{5mm} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}\]

\[\begin{align} (2) \hspace{5mm} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2/3 \\ 0 & -1 & 1/3 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix} \end{align}\]