3.4 Surdispersion du nombre de réclamations
Lorsque \(S \sim PC(\lambda)\), nous avons vu que la condition de stabilité d’ordre \((K,p)\) pour \(S\) est:
\[\lambda_{cc} = \left(\frac{Q(q)}{K}\right)^2 \left[1 + \frac{Var[X]}{E[X]^2} \right]\]
avec \(\lambda_{cc}\), le seuil de stabilité.
Ce résultat basé sur la Poisson composée, signifiant que le nombre de sinistres suit une loi de Poisson. On peut généraliser l’approche à d’autres modèles de somme composée, où le nombre de sinistres ne serait pas poissonnien, mais suivrait plutôt une autre distribution.
Proposition 3.8 La variance d’une somme composée \(S\) peut aussi s’exprimer comme:
\[Var[S] = E[N] \left(E[X]^2 d_N + Var[X] \right), \ \ \ \text{avec} \ \ d_N = \frac{Var[N]}{E[N]}.\]
(Preuve à faire en classe)
\[\begin{eqnarray*} Var[S] &=& E[X_i]^2 Var[N] + Var[X_i] E[N] \\ &=& E[N] (E[X_i]^2 (Var[N]/E[N]) + Var[X_i] ) \\ &=& E[N] (E[X_i]^2 d_N + Var[X_i] ), \ \ \ \text{avec} \ \ d_N = \frac{Var[N]}{E[N]} \end{eqnarray*}\]
Proposition 3.9 Si \(S\) suit une somme composée, alors la condition de stabilité d’ordre \((K,p)\) pour \(S\) est:
\[\lambda_{cc} = \left(\frac{Q(q)}{K}\right)^2 \left[d_N + \frac{Var[X]}{E[X]^2} \right]\]
où \(\lambda_{cc}\) correspond au seuil de stabilité, si on tient compte de la fréquence \(N\) et de la sévérité \(X\).
(Preuve à faire en classe)
On reprend pratiquement la même démonstration que dans le cas particulier où \(S \sim PC(\lambda)\):
\[\frac{K \mu_{S}}{\sigma_{S}} \ge Q(q)\]
Toutefois, nous utilisons l’espérance et la variance générales de la somme composée, et on cherche à isoler \(E[N]\):
\[\begin{eqnarray*} \frac{K \mu_{S}}{\sigma_{S}} &=& \frac{K E[N] E[X]}{\sqrt{E[N] (E[X]^2 d_N + Var[X] )}} = \frac{K^2 E[N]^2 E[X]^2}{E[N] (E[X]^2 d_N + Var[X]) } = \frac{K^2 E[N] E[X]^2}{E[X_i]^2 d_N + Var[X]} \end{eqnarray*}\]
Ainsi, nous avons:
\[E[N] = \lambda \ge \frac{Q(q)^2 \left( E[X]^2 d_N + Var[X] \right) }{K^2 E[X]^2} = \left(\frac{Q(q)}{K}\right)^2 \frac{E[X]^2 d_N + Var[X]}{E[X]^2}\]
et donc:
\[\lambda_{cc} = \left(\frac{Q(q)}{K}\right)^2 \left[d_N + \frac{Var[X]}{E[X]^2} \right]\]
Le résultat de crédibilité du modèle avec somme composée généralise le modèle de Poisson composée. En effet, pour obtenir \(\lambda_{cc}\) d’une Poisson composée, on peut prendre le résultat de la dernière proposition et utiliser \(d_N=1\).
Exemple 3.10 Vérifiez que la décomposition du modèle de crédibilité totale par \(\lambda_0\) et \(n_{cc}^s\) est toujours valide avec un modèle de somme composée utilisant un \(d_N \ne 1\).
(Exemple à faire à la maison)
Exemple 3.11 Vérifiez que la construction du modèle de crédibilité partielle est toujours valide avec un modèle de somme composée utilisant un \(d_N \ne 1\).