Vikublað 9

Dæmi 1

Sýnið að föllin \(f_n = \frac1n\mathbf1_{[0,n]}\) stefni í jöfnum mæli á fallið \(f=0\) á \(\mathbb R\) þegar \(n\rightarrow\infty\) og

\[ \int_\mathbb R fdm \neq \lim_{n\rightarrow\infty}\int_\mathbb R f_ndm. \]

Hvernig lítur þessi niðurstaða út í ljósi setningar um einhalla samleitni, setningar Fatous og setningar um yfirgnæfða samleitni?

Gerið samskonar úttekt á rununni \((g_n)_{n\geq1}\) þar sem \(g_n := n\mathbf1_{[\frac1n,\frac2n]}\).

Lausn. Þar sem \(||f_n||_{\mathbb R} = n^{-1}\) liggur ljóst fyrir að \(f_n\) stefni í jöfnum mæli á \(0\) þegar \(n\rightarrow\infty\). Þar sem \(f_n\) er einfallt fall fæst beint skv. skilgr. að \(\int_{\mathbb R}f_n dm = \frac1n([0,n])=1\). Því er markgildi þessara heilda ljóslega 1. Hins vegar er heildi \(f\) ljóslega \(0\) á \(\mathbb R\). Þar sem runan \((f_n)_{n\geq1}\) er ekki vaxandi þá á reglan um einhalla samleitni ekki við. Setning Fatous gildir, enda er \(0\leq 1\) eins og setningin spáir fyrir um. Til þess að beita setningunni um yfirgnæfða samleitni þyrfti að vera til \(h\) sem yfirgnæfir öll \(f\). Það þyrfti þá að vera jafn a.m.k. \(n^{-1}\) á \([n-1,n]\) fyrir öll \(n>0\). En þetta \(h\) er ekki í \(\mathcal L(\mathbb R,m)\) því summan af \(n^{-1}\) frá \(n=1\) upp í \(\infty\) er ekki samleitin.

\(\mathbf{g_n}\). Þar sem sérhver punktur \(x\in\mathbb R\) liggur alltaf að lokum (eða alltaf) utan \([n^{-1},2n^{-1}]\) stefnir \(g_n\) á núllfallið. Hins vegar stefnir \(g_n\) ekki á núllfallið í jöfnum mæli því \(||g_n||_{\mathbb R} = n\). Þar sem \(g_n\) er einfalt fall fæst beint skv. skilgr. að \(\int_{\mathbb R}g_ndm = nm([n^{-1},2n^{-1}]) = 1\). Því er markgildi þessara heilda ljóslega 1. Hins vegar er heildi \(g\) ljóslega \(0\) á \(\mathbb R\). Þar sem runan \((g_n)_{n\geq1}\) er ekki vaxandi þá á reglan um einhalla samleitni ekki við. Setning Fatous gildir, enda er \(0\leq1\) eins og setningin spáir fyrir um. Til þess að beita setningunni um yfirgnæfða samleitni þyrfti að vera til \(h\) sem yfirgnæfir öll \(f\). Það þyrfti þá að vera jafn a.m.k \(n\) á \([n^{-1},2n^{-1}]\) fyrir öll \(n>0\). En þetta \(h\) er ekki í \(\mathcal L(\mathbb R,m)\) því summan af 1 frá \(n=1\) upp í \(\infty\) er ekki samleitin.

Dæmi 2

Sýnið fram á að samfellt og takmarkað fall á Jordan-mælanlegu mengi í \(\mathbb R^d\) sé Riemann-heildanlegt.

VINSAMLEG ÁBENDING: Dæmið gengur út á að sanna setningu 4.3.4 í fyrirlestrunum svo þið megið ekki nota hana.

Lausn.

Dæmi 3

Látum \((\Omega,\mathcal F, \mu)\) vera málrúm. Við segjum að fall \(f:\Omega\rightarrow\mathbb C\) sé heildanlegt ef raungildi föllin \(\text{Re}f\) og \(\text{Im}f\) eru bæði heildanleg og þá setjum við

\[ \int_\Omega fd\mu := \int_\Omega \text{Re}fd\mu + i\int_\Omega \text{Im}fd\mu. \]

Sýnið að tvinngilt fall \(f\) á \(\Omega\) sé heildanlegt þá og því aðeins að fallið \(|f|\) sé heildanlegt á \(\Omega\) og sé svo þá gildi

\[ \left|\int_\Omega fd\mu\right| \leq \int_\Omega |f|d\mu. \]

Lausn.

Dæmi 4

Látum \(f\) vera stak í \(\mathcal L^1(\mathbb R,m)\) og skilgreinum fall \(\hat f:\mathbb R\rightarrow \mathbb C\) með því að setja

\[ \hat f(u):= \int_\mathbb R e^{iux}f(x)dm \]

Gerið grein fyrir að fallið \(\hat f\) sé samfellt í jöfnum mæli á \(\mathbb R\).

Lausn.

Upprifjun úr línulegri algebru

Látum \(e_1, \dots, e_d\) vera venjulega grunninn fyrir \(\mathbb R^d\). Gagntæk línuleg vörpun \(\mathbb R^d\rightarrow\mathbb R^d\) er samskeyting endanlega margra línulegra varpana sem hver um sig ákvarðast af einu eftirfarandi skilyrða:

  • \(L(e_i) = e_i\) ef \(i\neq j\), og \(L(e_j) = ae_j\) þar sem \(a\in\mathbb R\).

  • \(L(e_i) = e_i\) ef \(i\neq j\), og \(L(e_j) = e_j + e_k\).

  • \(L(e_i) = e_i\) ef \(i\not\in \{j,k\}\), og \(L(e_j) = e_k, L(e_k)=e_j\).

Dæmi 5

Látum \(T:\mathbb R^d\rightarrow\mathbb R^d\) vera línulega vörpun, sem er af einni af þeim þremur gerðum sem lýst er í upprifjuninni hér að ofan, og \(B\) vera tening í \(\mathbb R^d\).

  1. Geri grein fyrir að \(T(B)\) sé Lebesgue-mælanlegt mengi.

  2. Sýnið að

\[ m(T(B)) = |\det(T)||B|. \]

Ábendingar: Sannið fyrst niðurstöðuna fyrir \(B\) þegar núllpunkturinn er einn af hornpunktum \(B\). Skoðið sérstaklega tilfellið \(d=2\) og teiknið skýringamyndir.

  1. Gerið grein fyrir að \(T\) sé mælanleg vörpun frá \((\mathbb R^d,\mathcal M)\) til \((\mathbb R^d,\mathcal M)\).

  2. Látum \(T_*m\) tákna mynd vörpunarinnar \(T\) af Lebesgue-málinu \(m\). Sýnið að

\[ T_*m = \frac{1}{|\det T|}m. \]

Lausn.

Dæmi 6

Látum \(T:\mathbb R^d\rightarrow\mathbb R^d\) vera gagntæka línulega vörpun. Gerið grein fyrir að \(T\) sé mælanleg vörpuframt að

\[ T_*m = \frac{1}{|\det T|}m. \]

Ályktið út frá því að fyrir sérhvert Lebesgue-mælanlegt mengi \(E\) í \(\mathbb R^d\) og sérhvert \(f\) úr \(\mathcal L^1(E,\mu)\) gildi

\[ \int_E fdm = \int_{T^{-1}(E)}(f\circ T)|\det(T)| dm. \]

Hvað er hægt að segja um málið \(T_*m\) ef ekki er gert ráð fyrir að T sé gagntæk?

Lausn.

Dæmi 7

Látum \((\Omega,\mathcal F,\mu)\) vera málrúm og \(f:\Omega\rightarrow[0,\infty]\) vera mælanlegt fall sem uppfyllir

\[ 0<\int_\Omega fd\mu <\infty. \]

Sýnið að

\[ \begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega n\log[1+(f/n)^\alpha]d\mu = \begin{cases} \infty &\text{ef } 0<\alpha<1 \\ \int_\Omega fd\mu &\text{ef } \alpha = 1 \\ 0 &\text{ef } 1<\alpha<\infty. \end{cases} \end{aligned} \]

Lausn.

Dæmi 8

Reiknið heildið

\[ \int_0^1\frac{x^2-1}{\log x}dx \]

með því að beita setningu 16.2.3 á fallið

\[ F(t) := \int_0^1\frac{x^t-1}{\log x}dx \]

Lausn.

Dæmi 9

Sérhverja tölu \(x\in[0,1]\) er hægt að rita á nákvæmlega einn veg sem tvíundabrot \(x=0,a_1a_2\dots\) samkvæmt viðteknum venjum. Sýnið að fyrir sérhvert \(n\geq 1\) sé fallið

\[ [0,1] \rightarrow\mathbb R, \quad x\rightarrow a_n \]

mælanlegt.

Lausn.