Vikublað 9

Dæmi 1

Sýnið að föllin $f_n = \frac1n\mathbf1_{[0,n]}$ stefni í jöfnum mæli á fallið $f=0$ á $\mathbb R$ þegar $n\rightarrow\infty$ og

$$\int_\mathbb R fdm \neq \lim_{n\rightarrow\infty}\int_\mathbb R f_ndm.$$

Hvernig lítur þessi niðurstaða út í ljósi setningar um einhalla samleitni, setningar Fatous og setningar um yfirgnæfða samleitni?

Gerið samskonar úttekt á rununni $(g_n)_{n\geq1}$ þar sem $g_n := n\mathbf1_{[\frac1n,\frac2n]}$.

---

Lausn. Þar sem $||f_n||_{\mathbb R} = n^{-1}$ liggur ljóst fyrir að $f_n$ stefni í jöfnum mæli á $0$ þegar $n\rightarrow\infty$. Þar sem $f_n$ er einfallt fall fæst beint skv. skilgr. að $\int_{\mathbb R}f_n dm = \frac1n([0,n])=1$. Því er markgildi þessara heilda ljóslega 1. Hins vegar er heildi $f$ ljóslega $0$ á $\mathbb R$. Þar sem runan $(f_n)_{n\geq1}$ er ekki vaxandi þá á reglan um einhalla samleitni ekki við. Setning Fatous gildir, enda er $0\leq 1$ eins og setningin spáir fyrir um. Til þess að beita setningunni um yfirgnæfða samleitni þyrfti að vera til $h$ sem yfirgnæfir öll $f$. Það þyrfti þá að vera jafn a.m.k. $n^{-1}$ á $[n-1,n]$ fyrir öll $n>0$. En þetta $h$ er ekki í $\mathcal L(\mathbb R,m)$ því summan af $n^{-1}$ frá $n=1$ upp í $\infty$ er ekki samleitin.

$\mathbf{g_n}$. Þar sem sérhver punktur $x\in\mathbb R$ liggur alltaf að lokum (eða alltaf) utan $[n^{-1},2n^{-1}]$ stefnir $g_n$ á núllfallið. Hins vegar stefnir $g_n$ ekki á núllfallið í jöfnum mæli því $||g_n||_{\mathbb R} = n$. Þar sem $g_n$ er einfalt fall fæst beint skv. skilgr. að $\int_{\mathbb R}g_ndm = nm([n^{-1},2n^{-1}]) = 1$. Því er markgildi þessara heilda ljóslega 1. Hins vegar er heildi $g$ ljóslega $0$ á $\mathbb R$. Þar sem runan $(g_n)_{n\geq1}$ er ekki vaxandi þá á reglan um einhalla samleitni ekki við. Setning Fatous gildir, enda er $0\leq1$ eins og setningin spáir fyrir um. Til þess að beita setningunni um yfirgnæfða samleitni þyrfti að vera til $h$ sem yfirgnæfir öll $f$. Það þyrfti þá að vera jafn a.m.k $n$ á $[n^{-1},2n^{-1}]$ fyrir öll $n>0$. En þetta $h$ er ekki í $\mathcal L(\mathbb R,m)$ því summan af 1 frá $n=1$ upp í $\infty$ er ekki samleitin.

---

Dæmi 2

Sýnið fram á að samfellt og takmarkað fall á Jordan-mælanlegu mengi í $\mathbb R^d$ sé Riemann-heildanlegt.

VINSAMLEG ÁBENDING: Dæmið gengur út á að sanna setningu 4.3.4 í fyrirlestrunum svo þið megið ekki nota hana.

---

Lausn.

---

Dæmi 3

Látum $(\Omega,\mathcal F, \mu)$ vera málrúm. Við segjum að fall $f:\Omega\rightarrow\mathbb C$ sé heildanlegt ef raungildi föllin $\text{Re}f$ og $\text{Im}f$ eru bæði heildanleg og þá setjum við

$$\int_\Omega fd\mu := \int_\Omega \text{Re}fd\mu + i\int_\Omega \text{Im}fd\mu.$$

Sýnið að tvinngilt fall $f$ á $\Omega$ sé heildanlegt þá og því aðeins að fallið $|f|$ sé heildanlegt á $\Omega$ og sé svo þá gildi

$$\left|\int_\Omega fd\mu\right| \leq \int_\Omega |f|d\mu.$$

---

Lausn.

---

Dæmi 4

Látum $f$ vera stak í $\mathcal L^1(\mathbb R,m)$ og skilgreinum fall $\hat f:\mathbb R\rightarrow \mathbb C$ með því að setja

$$\hat f(u):= \int_\mathbb R e^{iux}f(x)dm$$

Gerið grein fyrir að fallið $\hat f$ sé samfellt í jöfnum mæli á $\mathbb R$.

---

Lausn.

---

Upprifjun úr línulegri algebru

Látum $e_1, \dots, e_d$ vera venjulega grunninn fyrir $\mathbb R^d$. Gagntæk línuleg vörpun $\mathbb R^d\rightarrow\mathbb R^d$ er samskeyting endanlega margra línulegra varpana sem hver um sig ákvarðast af einu eftirfarandi skilyrða:

• $L(e_i) = e_i$ ef $i\neq j$, og $L(e_j) = ae_j$ þar sem $a\in\mathbb R$.

• $L(e_i) = e_i$ ef $i\neq j$, og $L(e_j) = e_j + e_k$.

• $L(e_i) = e_i$ ef $i\not\in \{j,k\}$, og $L(e_j) = e_k, L(e_k)=e_j$.

Dæmi 5

Látum $T:\mathbb R^d\rightarrow\mathbb R^d$ vera línulega vörpun, sem er af einni af þeim þremur gerðum sem lýst er í upprifjuninni hér að ofan, og $B$ vera tening í $\mathbb R^d$.

1. Geri grein fyrir að $T(B)$ sé Lebesgue-mælanlegt mengi.

2. Sýnið að

$$m(T(B)) = |\det(T)||B|.$$

Ábendingar: Sannið fyrst niðurstöðuna fyrir $B$ þegar núllpunkturinn er einn af hornpunktum $B$. Skoðið sérstaklega tilfellið $d=2$ og teiknið skýringamyndir.

3. Gerið grein fyrir að $T$ sé mælanleg vörpun frá $(\mathbb R^d,\mathcal M)$ til $(\mathbb R^d,\mathcal M)$.

4. Látum $T_*m$ tákna mynd vörpunarinnar $T$ af Lebesgue-málinu $m$. Sýnið að

$$T_*m = \frac{1}{|\det T|}m.$$

---

Lausn.

---

Dæmi 6

Látum $T:\mathbb R^d\rightarrow\mathbb R^d$ vera gagntæka línulega vörpun. Gerið grein fyrir að $T$ sé mælanleg vörpuframt að

$$T_*m = \frac{1}{|\det T|}m.$$

Ályktið út frá því að fyrir sérhvert Lebesgue-mælanlegt mengi $E$ í $\mathbb R^d$ og sérhvert $f$ úr $\mathcal L^1(E,\mu)$ gildi

$$\int_E fdm = \int_{T^{-1}(E)}(f\circ T)|\det(T)| dm.$$

Hvað er hægt að segja um málið $T_*m$ ef ekki er gert ráð fyrir að T sé gagntæk?

---

Lausn.

---

Dæmi 7

Látum $(\Omega,\mathcal F,\mu)$ vera málrúm og $f:\Omega\rightarrow[0,\infty]$ vera mælanlegt fall sem uppfyllir

$$0<\int_\Omega fd\mu <\infty.$$

Sýnið að

$$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega n\log[1+(f/n)^\alpha]d\mu = \begin{cases} \infty &\text{ef } 0<\alpha<1 \\ \int_\Omega fd\mu &\text{ef } \alpha = 1 \\ 0 &\text{ef } 1<\alpha<\infty. \end{cases} \end{aligned}$$

---

Lausn.

---

Dæmi 8

Reiknið heildið

$$\int_0^1\frac{x^2-1}{\log x}dx$$

með því að beita setningu 16.2.3 á fallið

$$F(t) := \int_0^1\frac{x^t-1}{\log x}dx$$

---

Lausn.

---

Dæmi 9

Sérhverja tölu $x\in[0,1]$ er hægt að rita á nákvæmlega einn veg sem tvíundabrot $x=0,a_1a_2\dots$ samkvæmt viðteknum venjum. Sýnið að fyrir sérhvert $n\geq 1$ sé fallið

$$[0,1] \rightarrow\mathbb R, \quad x\rightarrow a_n$$

mælanlegt.

---

Lausn.

---