15 Heildanleg föll

15.1 Skilgreining

Látum $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ vera málrúm og $E\in \mathcal F$. Við segjum að fall $f:\Omega\rightarrow\mathbb R$ sé heildanlegt á $E$ ef það er mælanlegt og $\int_E f^+d\mu < \infty$ og $\int_E f^-d\mu < \infty$. Þá kallast rauntalan

$$\int_Efd\mu := \int_Ef^+d\mu - \int_Ef^-d\mu$$

heildi fallsins $f$ yfir $E$ m.t.t. málsins $\mu$.

Mengi allra falla, sem eru heildanleg á $E$, verður táknað $\mathcal L(E,\mu)$ eða bara $\mathcal L^1$ ef ekki er hætta á ruglingi.

---

15.2 Setning

Látum $f$ vera mælanlegt fall á málrúmi $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ og $E\in \mathcal F$. Þá er $f$ í $\mathcal L^1(E, \mu)$ þá og því aðeins að fallið $|f|$ sé í $\mathcal L^1(E,\mu)$. Sé svo þá gildir einnig

$$\left|\int_E fd\mu \right| \leq \int_E|f|d\mu.$$

---

Sönnun. Athugum að $f\in\mathcal L^1(E,\mu)$ ef og aðeins ef bæði föllin $f^+$ og $f^-$ eru heildanleg.

$$f = f^+ + f^- \\ |f| = f^+ + f^-$$

Sjáum að $f\in\mathcal L^1(E,\mu)$ ef og aðeins ef $|f|\in\mathcal L^1(E,\mu)$. Ef $f\in\mathcal L^1(E,\mu)$ þá er

$$\begin{aligned} |\int_E fd\mu| &= |\int_E f^+d\mu - \int_E f^-d\mu| \\ &\leq \int_E f^+d\mu + \int_E f^-d\mu \\ &= \int_E(f^++f^-)d\mu = \int_E|f|d\mu \end{aligned}$$

---

15.2.1 Athugasemd

1. Ef $f$ er mælanlegt fall á $(\Omega, \mathcal F)$ og $E\in\mathcal F$ og $g\in \mathcal L^1(E,\mu)$ þ.a. $|f|\leq |g|$, þá er $f\in\mathcal L^1(E,\mu)$ og $\int_E|f|d\mu \leq \int_E|g|d\mu$.

2. Það getur gerst með Riemann-heildi að $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx$ er samleitið en $\int_{-\infty}^\infty|f(x)|dx$ er ekki samleitið. Svona gerist ekki með Lebesgue-heildi því fall $f$ er heildanlegt ef og aðeins ef $|f|$ er heildanlegt (innbyggð alsamleitni).

---

15.3 Setning

Látum $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ vera málrúm og $E\in \mathcal F$. Ef $f, g\in \mathcal L^1(E,\mu)$ og $c\in\mathbb R$, þá gildir:

1. Fallið $cf$ er í $\mathcal L^1(E,\mu)$ og $\int_E cfd\mu = c\int_Efd\mu$

2. Fallið $f + g$ er í $\mathcal L^1(E,\mu)$ og

$$\int_E(f+g)d\mu = \int_Efd\mu + \int_Egd\mu$$

---

Sönnun.

1. Tilvikið $c=0$ er augljóst. Gerum ráð fyrir að $c>0$. Þá er $(cf)^+ = cf^+$ og $(cf)^- = cf^-$. *12.3.2** segir að ef $g\geq0$ þá $\int_E(cg)d\mu = c\int_E gd\mu$. Notum þetta

$$\begin{aligned} \int_E(cf)d\mu &= \int_E(cf)^+d\mu - \int_E(cf)^-d\mu \\ &= \int_E cf^+d\mu - \int_E cf^- d\mu \\ &= c\int_E f^+d\mu - c\int_E f^-d\mu \\ &= c(\int_Ef^+d\mu - \int_Ef^-d\mu) \\ &= c\int_Efd\mu \end{aligned}$$

Gerum nú ráð fyrir $c<0$. Þá er $(cf)^+ = |c|f^-$ og $(cf)^- = |c|f^+$. Athugum að |c| = -c.

$$\begin{aligned} \int_E(cf)d\mu &= \int_E(cf)^+d\mu - \int_E(cf)^-d\mu \\ &= \int_E |c|f^-d\mu - \int_E |c|f^+ d\mu \\ &= c\int_E f^-d\mu - c\int_E f^+d\mu \\ &= c\int_E f^+d\mu - c\int_E f^-d\mu \\ &= c(\int_Ef^+d\mu - \int_Ef^-d\mu) \\ &= c\int_Efd\mu \end{aligned}$$

2. Gefum okkur $f,g\in\mathcal L^1(e,\mu)$. Athugum að $|f|, |g| \in\mathcal L^1(E,\mu)$. Þar sem $f+g$ er mælanlegt, $|f| + |g|$ er heildanlegt og $|f+g| \leq |f| + |g|$ heildanlegt og því er $f+g$ heildanlegt. Ath. Þarf ekki að gilda að $(f+g)^+ = f^+ + g^+$. Hinsvegar er $f+g = (f^+ + g^+) - (f^- + g^-=$

$$\begin{aligned} \int_E(f+g)d\mu &= \int_E (f^++g^+)d\mu - \int_E(f^-+g^-)d\mu \\ &= \int_Ef^+d\mu + \int_Eg^+d\mu - \int_Ef^-d\mu - \int_Eg^-d\mu \text{, (öll } \geq 0) \\ &= \int_E fd\mu + \int_Egd\mu \end{aligned}$$

---

15.4 Setning

Látum $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ vera málrúm og $E\in F$. Ef $f,g\in \mathcal L^1(E,\mu)$ og $f\leq g$, þá gildir

$$\int_E \text{f d}\mu \leq \int_E \text{g d}\mu$$

---

Sönnun. Höfum séð að ef $0\leq f\leq g$ og $f,g\in\mathcal L^1(E,\mu)$ þá er $\int_Efd\mu \leq \int_Egd\mu$. Höfum núna bara forsendu $f\leq g$ og $f,g\in\mathcal L^1(E,\mu)$. Ef $f\leq g$ þá $f^+\leq g^+$ og $g^-\leq f^-$, $\int f^+d\mu \leq \int g^+ d\mu$, $\int g^-d\mu \leq \int f^-d\mu$.

$$\int_Efd\mu = \int_Ef^+d\mu - \int_Ef^-d\mu \leq \int_Eg^+d\mu - \int_Eg^-d\mu = \int_Egd\mu$$

---

15.5 Setningin um yfirgnæfða samleitni

Látum $(f_n)_{n\geq1}$ vera runu af mælanlegum föllum á málrúmi $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ og gerum ráð fyrir að hún stefni n.a. á mælanlegt fall $f$. Ef til er fall $g$ úr $\mathcal L^1(\Omega,\mu)$, sem fullnægir skilyrðinu $|f_n|\leq g$ fyrir öll $n$, þá er $f\in\mathcal L^1(\Omega,\mu)$ og

$$\int_\Omega fd\mu = \lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_nd\mu.$$

---

Sönnun. $\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x) = f(x)$ næstum alls staðar. Látum $E$ vera mælanlegt mengi með mál 0 þ.a.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x) = f(x), \quad \forall x\in \Omega\backslash E$$

Með því að setja $f_n = f_n\pi_{\Omega\backslash E}$ og $f=f\pi_{\Omega\backslash E}$ getum við gert ráð fyrir að $\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x) = f(x)$. Heildin breytast ekki heldur. Athugum nú að $|f_n|\leq g$ svo $f+g\geq0$.

$$\begin{aligned} \int_\Omega gd\mu + \int_\Omega fd\mu &= \int_\Omega(g+f)d\mu \\ &= \int_\Omega(g + \liminf f_n)d\mu \\ &\leq \liminf \int_\Omega(g+f_n)d\mu \\ &=\liminf(\int_\Omega gd\mu + \int_\Omega fd\mu) \\ &= \int_\Omega gd\mu + \liminf\int_\Omega f_nd\mu \end{aligned}$$

Sjáum að

$$\begin{aligned} \int_\Omega fd\mu &\leq \liminf \int_\Omega f_nd\mu \end{aligned}$$

Athugum að $g - f_n\geq 0$

$$\begin{aligned} \int_\Omega gd\mu - \int_\Omega fd\mu &= \int_\Omega (g - f)d\mu \\ &= \int_\Omega \liminf(g - f_n)d\mu \\ &\leq \liminf(\int_\Omega(g-f_n)d\mu) \\ &= \int_\Omega gd\mu + \liminf(-\int_\Omega f_nd\mu) \\ &= \int_\Omega gd\mu - \limsup\int_\Omega f_nd\mu \end{aligned}$$

Sjáum að

$$\begin{aligned} \limsup \int_\Omega f_nd\mu &\leq \int_\Omega fd\mu \\ \int_\Omega fd\mu &\leq \liminf\int_\Omega f_nd\mu \\ &\leq \limsup \int_\Omega f_nd\mu \\ &\leq \int_\Omega fd\mu \end{aligned}$$

Sv0

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_nd\mu = \int_\Omega fd\mu$$

---

15.6 Setning

Látum $f$ vera Lebesgue-heildanlegt fall á $\mathbb R^d$. Þá gildir, fyrir sérhvert $n$ úr $\mathbb N^*$, að föllin $g_n:=f\cdot\mathbf1_{\overline B_{(0,n)}}$ og $h_n := \min\{f,n\}$ eru heildanleg og

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb R^d}|f-g_n|dm = \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb R^d}|f-h_n|dm = 0.$$

---

Sönnun. Setjum

$$g(x) = \sum_{k=1}^\infty |f_k(x)| = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n|f_k(x)|$$

þá er $g$ mælanlegt, $g(x) \in [0,\infty]$ og $0\leq g_1\leq g_2 \leq \dots$ og $g_n\rightarrow g$. Setningin um einhalla samleitni segir

$$\begin{aligned} \int_\Omega gd\mu &= \lim_{n\rightarrow\infty} \int_\Omega g_nd\mu \\ &= \lim\int_\Omega\sum_{k=1}^n|f_n|d\mu \\ &= \lim\sum_{k=1}^n\int_\Omega|f_k|d\mu \\ &= \sum_{k=1}^\infty\int_\Omega|f_k|d\mu \end{aligned}$$

því er $g\in\mathcal L^1(\Omega,\mu)$ og $E=g^{-1}(\infty)$ hefur mál 0. Svo

$$\sum_{k=1}^\infty|f_k(x)| < \infty, \quad \forall x\in\Omega\backslash E$$

Svo

$$\sum_{k=1}^\infty f_n(x) \text{ samleitin, } \quad \forall x\in\Omega\backslash E \\ f(x) = \begin{cases} \sum_{k=1}^\infty f_n(x), x\in\Omega\backslash E,\\ 0, x\in E \end{cases}$$

Svo

$$|\sum_{k=1}^\infty f_n(x)| \leq g(x), \quad \forall x\in\Omega \\ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^\infty f_n(x) = f(x) \text{, fyrir næstum öll }x$$

Svo $f\in\mathcal L^1(\Omega,\mu)$ og

$$\int_\Omega fd\mu = \int_\Omega (\lim h_n)d\mu = \lim\int_\Omega h_nd\mu = \lim\int_\Omega \sum_{k=1}^n f_nd\mu = \lim\sum_{k=1}^n\int_\Omega f_nd\mu = \sum_{k=1}^\infty\int_\Omega f_kd\mu$$

---

15.7 Setning [Beppo Levi]

Látum $(f_k)_{k\geq 1}$ vera runu af mælanlegum föllum á málrúmi $(\Omega,\mathcal F,\mu)$ og gerum ráð fyrir að

$$\sum_{k=1}^\infty\int_\Omega |f_k|d\mu < \infty.$$

Þá er röðin $\sum_{k=1}^\infty f_k$ samleitin næstum alls staðar að heildanlegu falli $f$ á $\Omega$ og ennfremur gildir

$$\int_\Omega fd\mu = \sum_{k=1}^\infty \int_\Omega f_kd\mu$$

---

Sönnun.

---