15 Heildanleg föll

15.1 Skilgreining

Látum \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) vera málrúm og \(E\in \mathcal F\). Við segjum að fall \(f:\Omega\rightarrow\mathbb R\) sé heildanlegt á \(E\) ef það er mælanlegt og \(\int_E f^+d\mu < \infty\) og \(\int_E f^-d\mu < \infty\). Þá kallast rauntalan

\[ \int_Efd\mu := \int_Ef^+d\mu - \int_Ef^-d\mu \]

heildi fallsins \(f\) yfir \(E\) m.t.t. málsins \(\mu\).

Mengi allra falla, sem eru heildanleg á \(E\), verður táknað \(\mathcal L(E,\mu)\) eða bara \(\mathcal L^1\) ef ekki er hætta á ruglingi.

15.2 Setning

Látum \(f\) vera mælanlegt fall á málrúmi \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) og \(E\in \mathcal F\). Þá er \(f\) í \(\mathcal L^1(E, \mu)\) þá og því aðeins að fallið \(|f|\) sé í \(\mathcal L^1(E,\mu)\). Sé svo þá gildir einnig

\[ \left|\int_E fd\mu \right| \leq \int_E|f|d\mu. \]

Sönnun. Athugum að \(f\in\mathcal L^1(E,\mu)\) ef og aðeins ef bæði föllin \(f^+\) og \(f^-\) eru heildanleg.

\[ f = f^+ + f^- \\ |f| = f^+ + f^- \]

Sjáum að \(f\in\mathcal L^1(E,\mu)\) ef og aðeins ef \(|f|\in\mathcal L^1(E,\mu)\). Ef \(f\in\mathcal L^1(E,\mu)\) þá er

\[ \begin{aligned} |\int_E fd\mu| &= |\int_E f^+d\mu - \int_E f^-d\mu| \\ &\leq \int_E f^+d\mu + \int_E f^-d\mu \\ &= \int_E(f^++f^-)d\mu = \int_E|f|d\mu \end{aligned} \]

15.2.1 Athugasemd

Ef \(f\) er mælanlegt fall á \((\Omega, \mathcal F)\) og \(E\in\mathcal F\) og \(g\in \mathcal L^1(E,\mu)\) þ.a. \(|f|\leq |g|\), þá er \(f\in\mathcal L^1(E,\mu)\) og \(\int_E|f|d\mu \leq \int_E|g|d\mu\).
Það getur gerst með Riemann-heildi að \(\int_{-\infty}^\infty f(x)dx\) er samleitið en \(\int_{-\infty}^\infty|f(x)|dx\) er ekki samleitið. Svona gerist ekki með Lebesgue-heildi því fall \(f\) er heildanlegt ef og aðeins ef \(|f|\) er heildanlegt (innbyggð alsamleitni).

15.3 Setning

Látum \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) vera málrúm og \(E\in \mathcal F\). Ef \(f, g\in \mathcal L^1(E,\mu)\) og \(c\in\mathbb R\), þá gildir:

1. Fallið \(cf\) er í \(\mathcal L^1(E,\mu)\) og \(\int_E cfd\mu = c\int_Efd\mu\)

2. Fallið \(f + g\) er í \(\mathcal L^1(E,\mu)\) og

\[ \int_E(f+g)d\mu = \int_Efd\mu + \int_Egd\mu \]

Sönnun.

1. Tilvikið \(c=0\) er augljóst. Gerum ráð fyrir að \(c>0\). Þá er \((cf)^+ = cf^+\) og \((cf)^- = cf^-\). *12.3.2** segir að ef \(g\geq0\) þá \(\int_E(cg)d\mu = c\int_E gd\mu\). Notum þetta

\[ \begin{aligned} \int_E(cf)d\mu &= \int_E(cf)^+d\mu - \int_E(cf)^-d\mu \\ &= \int_E cf^+d\mu - \int_E cf^- d\mu \\ &= c\int_E f^+d\mu - c\int_E f^-d\mu \\ &= c(\int_Ef^+d\mu - \int_Ef^-d\mu) \\ &= c\int_Efd\mu \end{aligned} \]

Gerum nú ráð fyrir \(c<0\). Þá er \((cf)^+ = |c|f^-\) og \((cf)^- = |c|f^+\). Athugum að |c| = -c.

\[ \begin{aligned} \int_E(cf)d\mu &= \int_E(cf)^+d\mu - \int_E(cf)^-d\mu \\ &= \int_E |c|f^-d\mu - \int_E |c|f^+ d\mu \\ &= c\int_E f^-d\mu - c\int_E f^+d\mu \\ &= c\int_E f^+d\mu - c\int_E f^-d\mu \\ &= c(\int_Ef^+d\mu - \int_Ef^-d\mu) \\ &= c\int_Efd\mu \end{aligned} \]

2. Gefum okkur \(f,g\in\mathcal L^1(e,\mu)\). Athugum að \(|f|, |g| \in\mathcal L^1(E,\mu)\). Þar sem \(f+g\) er mælanlegt, \(|f| + |g|\) er heildanlegt og \(|f+g| \leq |f| + |g|\) heildanlegt og því er \(f+g\) heildanlegt. Ath. Þarf ekki að gilda að \((f+g)^+ = f^+ + g^+\). Hinsvegar er \(f+g = (f^+ + g^+) - (f^- + g^-=\)

\[ \begin{aligned} \int_E(f+g)d\mu &= \int_E (f^++g^+)d\mu - \int_E(f^-+g^-)d\mu \\ &= \int_Ef^+d\mu + \int_Eg^+d\mu - \int_Ef^-d\mu - \int_Eg^-d\mu \text{, (öll } \geq 0) \\ &= \int_E fd\mu + \int_Egd\mu \end{aligned} \]

15.4 Setning

Látum \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) vera málrúm og \(E\in F\). Ef \(f,g\in \mathcal L^1(E,\mu)\) og \(f\leq g\), þá gildir

\[ \int_E \text{f d}\mu \leq \int_E \text{g d}\mu \]

Sönnun. Höfum séð að ef \(0\leq f\leq g\) og \(f,g\in\mathcal L^1(E,\mu)\) þá er \(\int_Efd\mu \leq \int_Egd\mu\). Höfum núna bara forsendu \(f\leq g\) og \(f,g\in\mathcal L^1(E,\mu)\). Ef \(f\leq g\) þá \(f^+\leq g^+\) og \(g^-\leq f^-\), \(\int f^+d\mu \leq \int g^+ d\mu\), \(\int g^-d\mu \leq \int f^-d\mu\).

\[ \int_Efd\mu = \int_Ef^+d\mu - \int_Ef^-d\mu \leq \int_Eg^+d\mu - \int_Eg^-d\mu = \int_Egd\mu \]

15.5 Setningin um yfirgnæfða samleitni

Látum \((f_n)_{n\geq1}\) vera runu af mælanlegum föllum á málrúmi \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) og gerum ráð fyrir að hún stefni n.a. á mælanlegt fall \(f\). Ef til er fall \(g\) úr \(\mathcal L^1(\Omega,\mu)\), sem fullnægir skilyrðinu \(|f_n|\leq g\) fyrir öll \(n\), þá er \(f\in\mathcal L^1(\Omega,\mu)\) og

\[ \int_\Omega fd\mu = \lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_nd\mu. \]

Sönnun. \(\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x) = f(x)\) næstum alls staðar. Látum \(E\) vera mælanlegt mengi með mál 0 þ.a.

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x) = f(x), \quad \forall x\in \Omega\backslash E \]

Með því að setja \(f_n = f_n\pi_{\Omega\backslash E}\) og \(f=f\pi_{\Omega\backslash E}\) getum við gert ráð fyrir að \(\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x) = f(x)\). Heildin breytast ekki heldur. Athugum nú að \(|f_n|\leq g\) svo \(f+g\geq0\).

\[ \begin{aligned} \int_\Omega gd\mu + \int_\Omega fd\mu &= \int_\Omega(g+f)d\mu \\ &= \int_\Omega(g + \liminf f_n)d\mu \\ &\leq \liminf \int_\Omega(g+f_n)d\mu \\ &=\liminf(\int_\Omega gd\mu + \int_\Omega fd\mu) \\ &= \int_\Omega gd\mu + \liminf\int_\Omega f_nd\mu \end{aligned} \]

Sjáum að

\[ \begin{aligned} \int_\Omega fd\mu &\leq \liminf \int_\Omega f_nd\mu \end{aligned} \]

Athugum að \(g - f_n\geq 0\)

\[ \begin{aligned} \int_\Omega gd\mu - \int_\Omega fd\mu &= \int_\Omega (g - f)d\mu \\ &= \int_\Omega \liminf(g - f_n)d\mu \\ &\leq \liminf(\int_\Omega(g-f_n)d\mu) \\ &= \int_\Omega gd\mu + \liminf(-\int_\Omega f_nd\mu) \\ &= \int_\Omega gd\mu - \limsup\int_\Omega f_nd\mu \end{aligned} \]

Sjáum að

\[ \begin{aligned} \limsup \int_\Omega f_nd\mu &\leq \int_\Omega fd\mu \\ \int_\Omega fd\mu &\leq \liminf\int_\Omega f_nd\mu \\ &\leq \limsup \int_\Omega f_nd\mu \\ &\leq \int_\Omega fd\mu \end{aligned} \]

Sv0

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_nd\mu = \int_\Omega fd\mu \]

15.6 Setning

Látum \(f\) vera Lebesgue-heildanlegt fall á \(\mathbb R^d\). Þá gildir, fyrir sérhvert \(n\) úr \(\mathbb N^*\), að föllin \(g_n:=f\cdot\mathbf1_{\overline B_{(0,n)}}\) og \(h_n := \min\{f,n\}\) eru heildanleg og

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb R^d}|f-g_n|dm = \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb R^d}|f-h_n|dm = 0. \]

Sönnun. Setjum

\[ g(x) = \sum_{k=1}^\infty |f_k(x)| = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n|f_k(x)| \]

þá er \(g\) mælanlegt, \(g(x) \in [0,\infty]\) og \(0\leq g_1\leq g_2 \leq \dots\) og \(g_n\rightarrow g\). Setningin um einhalla samleitni segir

\[ \begin{aligned} \int_\Omega gd\mu &= \lim_{n\rightarrow\infty} \int_\Omega g_nd\mu \\ &= \lim\int_\Omega\sum_{k=1}^n|f_n|d\mu \\ &= \lim\sum_{k=1}^n\int_\Omega|f_k|d\mu \\ &= \sum_{k=1}^\infty\int_\Omega|f_k|d\mu \end{aligned} \]

því er \(g\in\mathcal L^1(\Omega,\mu)\) og \(E=g^{-1}(\infty)\) hefur mál 0. Svo

\[ \sum_{k=1}^\infty|f_k(x)| < \infty, \quad \forall x\in\Omega\backslash E \]

Svo

\[ \sum_{k=1}^\infty f_n(x) \text{ samleitin, } \quad \forall x\in\Omega\backslash E \\ f(x) = \begin{cases} \sum_{k=1}^\infty f_n(x), x\in\Omega\backslash E,\\ 0, x\in E \end{cases} \]

Svo

\[ |\sum_{k=1}^\infty f_n(x)| \leq g(x), \quad \forall x\in\Omega \\ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^\infty f_n(x) = f(x) \text{, fyrir næstum öll }x \]

Svo \(f\in\mathcal L^1(\Omega,\mu)\) og

\[ \int_\Omega fd\mu = \int_\Omega (\lim h_n)d\mu = \lim\int_\Omega h_nd\mu = \lim\int_\Omega \sum_{k=1}^n f_nd\mu = \lim\sum_{k=1}^n\int_\Omega f_nd\mu = \sum_{k=1}^\infty\int_\Omega f_kd\mu \]

15.7 Setning [Beppo Levi]

Látum \((f_k)_{k\geq 1}\) vera runu af mælanlegum föllum á málrúmi \((\Omega,\mathcal F,\mu)\) og gerum ráð fyrir að

\[ \sum_{k=1}^\infty\int_\Omega |f_k|d\mu < \infty. \]

Þá er röðin \(\sum_{k=1}^\infty f_k\) samleitin næstum alls staðar að heildanlegu falli \(f\) á \(\Omega\) og ennfremur gildir

\[ \int_\Omega fd\mu = \sum_{k=1}^\infty \int_\Omega f_kd\mu \]

Sönnun.