12 Mælanleg föll
12.1 Málvenja
Látum \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) vera málrúm. Sagt er að tiltekin fullyrðing um punktana í \(\Omega\) sé rétt næstum alls staðar (oft skammstafað n.a.) ef til er \(N \in \mathcal F\) sem hefur þá eiginleika að \(\mu(N) = 0\) og fullyrðingin er rétt varðandi alla punkta úr \(\Omega \backslash N\).
12.2 Skilgreining
Látum \((\Omega, \mathcal F)\) vera mælanlegt rúm. Fall \(f: \Omega \rightarrow \mathbb R\) er sagt \(\mathcal F\)-mælanlegt (eða bara mælanlegt ef ekki er hætta á ruglingi) ef um sérhvert bil I í \(\mathbb R\) gildir að \(f^{-1}(I)\) sé mælanlegt.
Í því tilfelli þegar \(\Omega\) er Lebesgue-mælanlegt mengi í \(\mathbb R^d\) og \(\mathcal F = \mathcal M\), þá segjum við að slík föll séu Lebesgue-mælanleg og í tilfellinu þegar \(\Omega\) er Borel-mengi í \(\mathbb R\) og \(\mathcal F = \mathcal B\) segjum við að slík föll séu Borel-mælanleg eða Borel-föll.
12.3 Setning
Látum \((\Omega, \mathcal F)\) vera mælanlegt rúm og \(f: \Omega \rightarrow \mathbb R\). Þá eru eftirfarandi skilyrði jafngild.
Fallið \(f\) er mælanlegt.
Mengið \(f^{-1}((a, \infty))\) er mælanlegt fyrir sérhvert \(a\) úr \(\mathbb R \cup \{-\infty\}\).
Mengið \(f^{-1}([a, \infty))\) er mælanlegt fyrir sérhvert \(a\) úr \(\mathbb R\)
Mengið \(f^{-1}((-\infty, a))\) er mælanlegt fyrir sérhvert \(a\) úr \(\mathbb R \cup \{\infty\}\).
Mengið \(f^{-1}((-\infty, a])\) er mælanlegt fyrir sérhvert \(a\) úr \(\mathbb R\).
Sönnun.
12.4 Setning
Látum \(f\) og \(g\) vera mælanleg föll á mælanlegu rúmi \((\Omega, \mathcal F)\) og \(F: \mathbb R \times \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) vera samfellt fall. Þá er fallið
\[ h: \Omega \rightarrow\mathbb R, \quad x\rightarrow F(f(x), g(x)) \]
mælanlegt.
Sönnun.
12.5 Athugasemd
Fyrir raungilt fall á mengi X skilgreinum við föll \(f^+\) og \(f^-\) á X með því að setja
\[ f^+(x) := \max\{f(x), 0\} \quad \text{og} \quad f^-(x) := \max\{-f(x), 0\}. \]
12.6 Setning
Látum \(f\) og \(g\) vera mælanleg föll á mælanlegu rúmi \((\Omega, \mathcal F)\) og \(c\) vera rauntölu. Þá eru föllin
\[ cf, \quad f^2, \quad f + g, \quad fg, \quad |f|, \quad f^+, \quad f^- \]
öll mælanleg.
Sönnun.
12.7 Setning
Látum \((f_n)_{n\geq1}\) vera runu af mælanlegum föllum á mælanlegu rúmi \((\Omega, \mathcal F)\) og \(k\) vera náttúrulega tölu. Þá eru föllin
\[ \max_{n\leq k}f_n, \quad \min_{n\leq k}f_n, \quad \sup_n f_n, \quad \inf_n f_n, \quad \limsup_{n\rightarrow\infty}f_n, \quad \liminf_{n\rightarrow\infty}f_n \]
öll mælanleg.
Sönnun.
12.8 Setning
Látum \((f_n)_{n\geq1}\) vera runu af mælanlegum föllum á mælanlegu rúmi \((\Omega, \mathcal F)\) og \(k\) vera náttúrulega tölu. Þá eru föllin
\[ \max_{n\leq k}f_n, \quad \min_{n\leq k}f_n, \quad \sup_n f_n, \quad \inf_n f_n, \quad \limsup_{n\rightarrow\infty}f_n, \quad \liminf_{n\rightarrow \infty}f_n \]
öll mælanleg.
Sönnun.
12.9 Setning
Látum \((f_n)_{n\geq1}\) vera runu af mælanlegum föllum á mælanlegu rúmi \((\Omega, \mathcal F)\) og gerum ráð fyrir að runan stefni á fall \(f\) (í hverjum punkti). Þá er fallið \(f\) mælanlegt.
Sönnun.
12.10 Setning
Látum \(f\) og \(g\) vera föll á fullkomnu málrúmi \((\Omega, \mathcal F, \mu)\), sem eru eins næstum alls staðar. Ef annað fallanna er mælanlegt, þá er hitt það líka.
Sönnun.
12.11 Setning
Látum \((f_n)_{n\geq1}\) vera runu af mælanlegum föllum á fullkomnu málrúmi \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) og \(f\) vera fall á \(\Omega\) sem hefur þann eiginleika að \(\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x) = f(x)\) næstum alls staðar. Þá er f mælanlegt fall.
Sönnun.
12.12 Skilgreining
Látum \((\Omega, \mathcal F)\) vera mælanlegt rúm. Fall \(f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb R}\) er sagt \(\mathcal F\)-mælanlegt ef um allar rauntölur \(a\) gildir að mengið \(f^{-1}((a,\infty])\) er í \(\mathcal F\).
12.13 Setning
Látum \((\Omega, \mathcal F)\) vera mælanlegt rúm. Fall \(f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb R}\) er mælanlegt ef og aðeins ef mengin \(f^{-1}(\infty)\) og \(f^{-1}(-\infty)\) eru bæði mælanleg og fallið \(f_1: \Omega\rightarrow\mathbb R\), sem skilgreint er með því að setja
\[ \begin{aligned} f_1(x) = \begin{cases} f(x), \quad &x\in f^{-1}(-\infty, \infty) \\ 0, \quad &x\in f^{-1}(\{-\infty, \infty\}), \end{cases} \end{aligned} \]
er mælanlegt.
Sönnun.
12.14 Skilgreining
Látum \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) vera málrúm og \(f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb R}\) vera mælanlegt fall. Stærðin
\[ \text{ess}\sup f := \inf\{t\in\overline{\mathbb R} | f\leq t \quad \text{næstum alls staðar}\} \]
kallast raunverulegt efra mark fallsins \(f\) og talan
\[ \text{ess}\inf f := \inf\{t\in\overline{\mathbb R} | f\geq t \quad \text{næstum alls staðar}\} \]
kallast raunverulegt neðra mark fallsins \(f\).
12.15 Setning
Látum \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) vera málrúm og \(f,g:\Omega\rightarrow\overline{\mathbb R}\) vera mælanleg föll.
(i) Ef \(f\) og \(g\) taka gildi sín í \((-\infty, \infty]\), þá gildir
\[ \text{ess}\sup(f+g) \leq \text{ess}\sup f + \text{ess}\sup g. \]
(ii) Ef \(f\) og \(g\) taka gildi sín í \([-\infty, \infty)\), þá gildir
\[ \text{ess}\inf f + \text{ess}\inf g \leq \text{ess}\inf(f+g). \]
Sönnun.