12 Mælanleg föll

12.1 Málvenja

Látum $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ vera málrúm. Sagt er að tiltekin fullyrðing um punktana í $\Omega$ sé rétt næstum alls staðar (oft skammstafað n.a.) ef til er $N \in \mathcal F$ sem hefur þá eiginleika að $\mu(N) = 0$ og fullyrðingin er rétt varðandi alla punkta úr $\Omega \backslash N$.

---

12.2 Skilgreining

Látum $(\Omega, \mathcal F)$ vera mælanlegt rúm. Fall $f: \Omega \rightarrow \mathbb R$ er sagt $\mathcal F$-mælanlegt (eða bara mælanlegt ef ekki er hætta á ruglingi) ef um sérhvert bil I í $\mathbb R$ gildir að $f^{-1}(I)$ sé mælanlegt.

Í því tilfelli þegar $\Omega$ er Lebesgue-mælanlegt mengi í $\mathbb R^d$ og $\mathcal F = \mathcal M$, þá segjum við að slík föll séu Lebesgue-mælanleg og í tilfellinu þegar $\Omega$ er Borel-mengi í $\mathbb R$ og $\mathcal F = \mathcal B$ segjum við að slík föll séu Borel-mælanleg eða Borel-föll.

---

12.3 Setning

Látum $(\Omega, \mathcal F)$ vera mælanlegt rúm og $f: \Omega \rightarrow \mathbb R$. Þá eru eftirfarandi skilyrði jafngild.

1. Fallið $f$ er mælanlegt.

2. Mengið $f^{-1}((a, \infty))$ er mælanlegt fyrir sérhvert $a$ úr $\mathbb R \cup \{-\infty\}$.

3. Mengið $f^{-1}([a, \infty))$ er mælanlegt fyrir sérhvert $a$ úr $\mathbb R$

4. Mengið $f^{-1}((-\infty, a))$ er mælanlegt fyrir sérhvert $a$ úr $\mathbb R \cup \{\infty\}$.

5. Mengið $f^{-1}((-\infty, a])$ er mælanlegt fyrir sérhvert $a$ úr $\mathbb R$.

---

Sönnun.

---

12.4 Setning

Látum $f$ og $g$ vera mælanleg föll á mælanlegu rúmi $(\Omega, \mathcal F)$ og $F: \mathbb R \times \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ vera samfellt fall. Þá er fallið

$$h: \Omega \rightarrow\mathbb R, \quad x\rightarrow F(f(x), g(x))$$

mælanlegt.

---

Sönnun.

---

12.5 Athugasemd

Fyrir raungilt fall á mengi X skilgreinum við föll $f^+$ og $f^-$ á X með því að setja

$$f^+(x) := \max\{f(x), 0\} \quad \text{og} \quad f^-(x) := \max\{-f(x), 0\}.$$

---

12.6 Setning

Látum $f$ og $g$ vera mælanleg föll á mælanlegu rúmi $(\Omega, \mathcal F)$ og $c$ vera rauntölu. Þá eru föllin

$$cf, \quad f^2, \quad f + g, \quad fg, \quad |f|, \quad f^+, \quad f^-$$

öll mælanleg.

---

Sönnun.

---

12.7 Setning

Látum $(f_n)_{n\geq1}$ vera runu af mælanlegum föllum á mælanlegu rúmi $(\Omega, \mathcal F)$ og $k$ vera náttúrulega tölu. Þá eru föllin

$$\max_{n\leq k}f_n, \quad \min_{n\leq k}f_n, \quad \sup_n f_n, \quad \inf_n f_n, \quad \limsup_{n\rightarrow\infty}f_n, \quad \liminf_{n\rightarrow\infty}f_n$$

öll mælanleg.

---

Sönnun.

---

12.8 Setning

Látum $(f_n)_{n\geq1}$ vera runu af mælanlegum föllum á mælanlegu rúmi $(\Omega, \mathcal F)$ og $k$ vera náttúrulega tölu. Þá eru föllin

$$\max_{n\leq k}f_n, \quad \min_{n\leq k}f_n, \quad \sup_n f_n, \quad \inf_n f_n, \quad \limsup_{n\rightarrow\infty}f_n, \quad \liminf_{n\rightarrow \infty}f_n$$

öll mælanleg.

---

Sönnun.

---

12.9 Setning

Látum $(f_n)_{n\geq1}$ vera runu af mælanlegum föllum á mælanlegu rúmi $(\Omega, \mathcal F)$ og gerum ráð fyrir að runan stefni á fall $f$ (í hverjum punkti). Þá er fallið $f$ mælanlegt.

---

Sönnun.

---

12.10 Setning

Látum $f$ og $g$ vera föll á fullkomnu málrúmi $(\Omega, \mathcal F, \mu)$, sem eru eins næstum alls staðar. Ef annað fallanna er mælanlegt, þá er hitt það líka.

---

Sönnun.

---

12.11 Setning

Látum $(f_n)_{n\geq1}$ vera runu af mælanlegum föllum á fullkomnu málrúmi $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ og $f$ vera fall á $\Omega$ sem hefur þann eiginleika að $\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x) = f(x)$ næstum alls staðar. Þá er f mælanlegt fall.

---

Sönnun.

---

12.12 Skilgreining

Látum $(\Omega, \mathcal F)$ vera mælanlegt rúm. Fall $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb R}$ er sagt $\mathcal F$-mælanlegt ef um allar rauntölur $a$ gildir að mengið $f^{-1}((a,\infty])$ er í $\mathcal F$.

---

12.13 Setning

Látum $(\Omega, \mathcal F)$ vera mælanlegt rúm. Fall $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb R}$ er mælanlegt ef og aðeins ef mengin $f^{-1}(\infty)$ og $f^{-1}(-\infty)$ eru bæði mælanleg og fallið $f_1: \Omega\rightarrow\mathbb R$, sem skilgreint er með því að setja

$$\begin{aligned} f_1(x) = \begin{cases} f(x), \quad &x\in f^{-1}(-\infty, \infty) \\ 0, \quad &x\in f^{-1}(\{-\infty, \infty\}), \end{cases} \end{aligned}$$

er mælanlegt.

---

Sönnun.

---

12.14 Skilgreining

Látum $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ vera málrúm og $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb R}$ vera mælanlegt fall. Stærðin

$$\text{ess}\sup f := \inf\{t\in\overline{\mathbb R} | f\leq t \quad \text{næstum alls staðar}\}$$

kallast raunverulegt efra mark fallsins $f$ og talan

$$\text{ess}\inf f := \inf\{t\in\overline{\mathbb R} | f\geq t \quad \text{næstum alls staðar}\}$$

kallast raunverulegt neðra mark fallsins $f$.

---

12.15 Setning

Látum $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ vera málrúm og $f,g:\Omega\rightarrow\overline{\mathbb R}$ vera mælanleg föll.

(i) Ef $f$ og $g$ taka gildi sín í $(-\infty, \infty]$, þá gildir

$$\text{ess}\sup(f+g) \leq \text{ess}\sup f + \text{ess}\sup g.$$

(ii) Ef $f$ og $g$ taka gildi sín í $[-\infty, \infty)$, þá gildir

$$\text{ess}\inf f + \text{ess}\inf g \leq \text{ess}\inf(f+g).$$

---

Sönnun.

---