7 Lebesgue-utanmálið

Fyrir hlutmengi A í $\mathbb R^d$ látum við $Z_A$ tákna mengi allra stærða af gerðinni $\sum_{n=1}^\infty|B_n|$ (í $\overline{\mathbb R}$) þar sem $(B_n)_{n\geq1}$ er runa af d-kössum sem þekja A, þ.e.a.s. $A \subseteq \bigcup_{n\geq1}B_n$.

---

7.1 Skilgreining

Látum A vera hlutmengi í $\mathbb R^d$. Þá kallast talan

$$m^*(A) := \inf Z_A$$

Lebesgue-utanmál mengisins A.

---

7.2 Setning

Lebesgue-utanmálið hefur eftirfarandi eiginleika

1. $m^*(\emptyset) = 0$.

2. Ef $E\subseteq F \subseteq \mathbb R^d$, þá er $m^*(E) \leq m^*(F)$.

3. Um sérhverja runu $(E_n)_{n\geq1}$ af hlutmengjum í $\mathbb R^d$ gildir

$$m^*(\bigcup_{n\geq 1}E_n) \leq \sum_{n=1}^\infty m^*(E_n).$$

4. Ytra mál hlutmengis í $\mathbb R^d$ breytist ekki við hliðrun, m.ö.o. gildir um öll hlutmengi E í $\mathbb R^d$ og öll $v$ úr $\mathbb R^d$ að

$$m^*(E + v) = m^*(E).$$

---

Sönnun.

2. Augljóst þegar við tökum eftir því að sérhver þakning á $F$ er þakning á $E$.

3. Gerum ráð fyrir að $m_*(E_j) < \infty$ fyrir öll $j$, því annars er niðurstaðan augljós. Fyrir sérhvert $\varepsilon > 0$ gefur skilgreiningin á Lebesgue-utanmálinu okkur fyrir hvert $j$ þakningu $E_j\subset \bigcup_{k=1}^\infty Q_{k,j}$ með lokuðum kössum þannig að

$$\sum_{k=1}^\infty |Q_{k,j}| \leq m_*(E_j) + \frac{\varepsilon}{2^j}.$$

Þá er $E\subset\bigcup_{j,k=1}^\infty Q_{k,j}$ þakning á $E$ með lokuðum kössum og því

$$\begin{aligned} m_*(E) \leq \sum_{j,k}|Q_{k,j}| &= \sum_{j=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty |Q_{k,j}| \\ &\leq \sum_{j=1}^\infty (m_*(E_j) + \frac{\varepsilon}{2^j} \\ &= \sum_{j=1}^\infty m_*(E) + \varepsilon. \end{aligned}$$

Þar sem ofangreint stens fyrir sérhvert $\varepsilon > 0$ er staðhæfingin sönnuð.

---

7.2.1 Setning

Látum E og F vera hlutmengi í $\mathbb R^d$, sem uppfylla $d(E, F) > 0$. Þá gildir

$$m^*(E\cup F) = m^*(E) + m^*(F).$$

---

7.3 Setning

Látum E vera kassastæðu í $\mathbb R^d$. Þá er Lebesgue-utanmálið á E jafn Jordan-málinu á E, með öðrum orðum $m^*(E) = m(E)$.

---

Látum $(B_i)_{i\in I}$ vera fjölskyldu af $d$-kössum, Við segjum að kassarnir í fjölskyldunni séu næstum innbyrðis sundurlægir ef $\text{int}(B_i)\cap\text{int}(B_j) = \emptyset$ þegar $i \neq j$.

---

7.4 Setning

Látum $(B_n)_{n\in\mathbb N}$ vera runu af næstum innbyrðis sundurlægum $d$-kössum. Þá gildir

$$m^*(\bigcup_{n=0}^\infty B_n) = \sum_{n=0}^\infty|B_n|.$$

---

7.5 Setning

Sérhvert opið mengi í $\mathbb R^d$ er unnt að skrifa sem sammengi af teljanlega mörgum næstum innbyrðis sundurlægum kössum.

---

7.6 Setning

Látum E vera hlutmengi í $\mathbb R^d$ og $\mathcal U$ vera mengi allra stærða af gerðinni $m^*(U)$ í $\overline{\mathbb R}$ þar sem U er opið mengi í $\mathbb R^d$, sem inniheldur E. Þá gildir

$$m^*(E) = \inf(\mathcal U)$$