7 Lebesgue-utanmálið

Fyrir hlutmengi A í \(\mathbb R^d\) látum við \(Z_A\) tákna mengi allra stærða af gerðinni \(\sum_{n=1}^\infty|B_n|\) (í \(\overline{\mathbb R}\)) þar sem \((B_n)_{n\geq1}\) er runa af d-kössum sem þekja A, þ.e.a.s. \(A \subseteq \bigcup_{n\geq1}B_n\).

7.1 Skilgreining

Látum A vera hlutmengi í \(\mathbb R^d\). Þá kallast talan

\[ m^*(A) := \inf Z_A \]

Lebesgue-utanmál mengisins A.

7.2 Setning

Lebesgue-utanmálið hefur eftirfarandi eiginleika

  1. \(m^*(\emptyset) = 0\).

  2. Ef \(E\subseteq F \subseteq \mathbb R^d\), þá er \(m^*(E) \leq m^*(F)\).

  3. Um sérhverja runu \((E_n)_{n\geq1}\) af hlutmengjum í \(\mathbb R^d\) gildir

\[ m^*(\bigcup_{n\geq 1}E_n) \leq \sum_{n=1}^\infty m^*(E_n). \]

  1. Ytra mál hlutmengis í \(\mathbb R^d\) breytist ekki við hliðrun, m.ö.o. gildir um öll hlutmengi E í \(\mathbb R^d\) og öll \(v\) úr \(\mathbb R^d\) að

\[ m^*(E + v) = m^*(E). \]

Sönnun.

  2. Augljóst þegar við tökum eftir því að sérhver þakning á \(F\) er þakning á \(E\).

  3. Gerum ráð fyrir að \(m_*(E_j) < \infty\) fyrir öll \(j\), því annars er niðurstaðan augljós. Fyrir sérhvert \(\varepsilon > 0\) gefur skilgreiningin á Lebesgue-utanmálinu okkur fyrir hvert \(j\) þakningu \(E_j\subset \bigcup_{k=1}^\infty Q_{k,j}\) með lokuðum kössum þannig að

\[ \sum_{k=1}^\infty |Q_{k,j}| \leq m_*(E_j) + \frac{\varepsilon}{2^j}. \]

Þá er \(E\subset\bigcup_{j,k=1}^\infty Q_{k,j}\) þakning á \(E\) með lokuðum kössum og því

\[ \begin{aligned} m_*(E) \leq \sum_{j,k}|Q_{k,j}| &= \sum_{j=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty |Q_{k,j}| \\ &\leq \sum_{j=1}^\infty (m_*(E_j) + \frac{\varepsilon}{2^j} \\ &= \sum_{j=1}^\infty m_*(E) + \varepsilon. \end{aligned} \]

Þar sem ofangreint stens fyrir sérhvert \(\varepsilon > 0\) er staðhæfingin sönnuð.

7.2.1 Setning

Látum E og F vera hlutmengi í \(\mathbb R^d\), sem uppfylla \(d(E, F) > 0\). Þá gildir

\[ m^*(E\cup F) = m^*(E) + m^*(F). \]

7.3 Setning

Látum E vera kassastæðu í \(\mathbb R^d\). Þá er Lebesgue-utanmálið á E jafn Jordan-málinu á E, með öðrum orðum \(m^*(E) = m(E)\).

Látum \((B_i)_{i\in I}\) vera fjölskyldu af \(d\)-kössum, Við segjum að kassarnir í fjölskyldunni séu næstum innbyrðis sundurlægir ef \(\text{int}(B_i)\cap\text{int}(B_j) = \emptyset\) þegar \(i \neq j\).

7.4 Setning

Látum \((B_n)_{n\in\mathbb N}\) vera runu af næstum innbyrðis sundurlægum \(d\)-kössum. Þá gildir

\[ m^*(\bigcup_{n=0}^\infty B_n) = \sum_{n=0}^\infty|B_n|. \]

7.5 Setning

Sérhvert opið mengi í \(\mathbb R^d\) er unnt að skrifa sem sammengi af teljanlega mörgum næstum innbyrðis sundurlægum kössum.

7.6 Setning

Látum E vera hlutmengi í \(\mathbb R^d\) og \(\mathcal U\) vera mengi allra stærða af gerðinni \(m^*(U)\) í \(\overline{\mathbb R}\) þar sem U er opið mengi í \(\mathbb R^d\), sem inniheldur E. Þá gildir

\[ m^*(E) = \inf(\mathcal U) \]