1 Örlítil mengjafræði

Gefum okkur að til grundvallar liggi hæfilega stórt almengi.

1.1 Skilgreining

Fjölskylda af hlutmengjum í mengi $M$ er vörpun

$$a: I\rightarrow \mathcal P(M).$$

Við notum yfirleitt tákn af greðinni $A_i$ til þess að tákna gildi vörpunarinnar $a$ í $i$ og vörpunina $a$ táknum við þá $(A_i)_{i\in I}$.

Við köllum $I$ stikamengi fjölskyldunnar.

Mengið

$$\bigcap_{i\in I}A_i := \{x\in M| x \in A_i \text{ fyrir öll } i\in I\}$$

kallast sniðmengi fjölskyldunnar.

Mengið

$$\bigcup_{i\in I}A_i := \{x\in M| x \in A_i \text{ fyrir eitthvert } i\in I\}$$

kallast sammengi fjölskyldunnar.

Fyrir hlutmengi $A$ í $M$ setjum við

$$A^c := M\backslash A := \{x \in M | x \notin A\}$$

og köllum fyllimengi $A$ (í $M$).

---

Ef $B$ er líka hlutmengi í $M$, þá setjum við

$$B\backslash A := \{x \in B| x \notin A\} = B \cup A^c$$

og hlutmengið

$$A\Delta B := (A\backslash B) \cup (B\backslash A)$$

köllum við samhverfan mismun hlutmengjanna $A$ og $B$.

---

Um sérhverja fjölskyldu $(A_i)_{i\in I}$ í mengi M gilda reglur de Morgans

$$\big(\bigcup_{i\in I} A_i\big)^c = \bigcap_{i\in I}A_i^c \\ \big(\bigcap_{i\in I} A_i\big)^c = \bigcup_{i\in I}A_i^c$$

---

Kennifall hlutmengis A í M er táknað $\mathbf 1_A: M \rightarrow \mathbb R$ og skilgreint með því að setja $\mathbf 1_A(x) := 1$ ef $x\in A$ og $\mathbf 1_A(x) = 0$ ef $x \notin A$.

Fyrir hlutmengi A og B í M gilda reglurnar

• $\mathbf 1_{A\cap B} = \mathbf 1_A \mathbf 1_B$

• $\mathbf 1_{A\cup B} = \mathbf 1_A + \mathbf 1_B - \mathbf 1_A\mathbf 1_B$

• $\mathbf 1_{A^c} = 1 - \mathbf 1_A$