1 Örlítil mengjafræði
Gefum okkur að til grundvallar liggi hæfilega stórt almengi.
1.1 Skilgreining
Fjölskylda af hlutmengjum í mengi \(M\) er vörpun
\[ a: I\rightarrow \mathcal P(M). \]
Við notum yfirleitt tákn af greðinni \(A_i\) til þess að tákna gildi vörpunarinnar \(a\) í \(i\) og vörpunina \(a\) táknum við þá \((A_i)_{i\in I}\).
Við köllum \(I\) stikamengi fjölskyldunnar.
Mengið
\[ \bigcap_{i\in I}A_i := \{x\in M| x \in A_i \text{ fyrir öll } i\in I\} \]
kallast sniðmengi fjölskyldunnar.
Mengið
\[ \bigcup_{i\in I}A_i := \{x\in M| x \in A_i \text{ fyrir eitthvert } i\in I\} \]
kallast sammengi fjölskyldunnar.
Fyrir hlutmengi \(A\) í \(M\) setjum við
\[ A^c := M\backslash A := \{x \in M | x \notin A\} \]
og köllum fyllimengi \(A\) (í \(M\)).
Ef \(B\) er líka hlutmengi í \(M\), þá setjum við
\[ B\backslash A := \{x \in B| x \notin A\} = B \cup A^c \]
og hlutmengið
\[ A\Delta B := (A\backslash B) \cup (B\backslash A) \]
köllum við samhverfan mismun hlutmengjanna \(A\) og \(B\).
Um sérhverja fjölskyldu \((A_i)_{i\in I}\) í mengi M gilda reglur de Morgans
\[ \big(\bigcup_{i\in I} A_i\big)^c = \bigcap_{i\in I}A_i^c \\ \big(\bigcap_{i\in I} A_i\big)^c = \bigcup_{i\in I}A_i^c \]
Kennifall hlutmengis A í M er táknað \(\mathbf 1_A: M \rightarrow \mathbb R\) og skilgreint með því að setja \(\mathbf 1_A(x) := 1\) ef \(x\in A\) og \(\mathbf 1_A(x) = 0\) ef \(x \notin A\).
Fyrir hlutmengi A og B í M gilda reglurnar
\(\mathbf 1_{A\cap B} = \mathbf 1_A \mathbf 1_B\)
\(\mathbf 1_{A\cup B} = \mathbf 1_A + \mathbf 1_B - \mathbf 1_A\mathbf 1_B\)
\(\mathbf 1_{A^c} = 1 - \mathbf 1_A\)