Vikublað 6
Dæmi 1
Látum \((\Omega, \mathcal G, \mu_c)\) vera fullkomnun málrúmsins \((\Omega, \mathcal F, \mu)\). Látum \(\mathcal G'\) vera \(\sigma\)-algebru á \(\Omega\) og \(\mu': \mathcal G' \rightarrow [0,\infty]\) vera mál, sem uppfyllir eftirfarandi skilyrði:
Málrúmið \((\Omega, \mathcal G', \mu')\) er fullkomið.
\(\mathcal F \subseteq \mathcal G'\) og \(\mu'(E) = \mu(E)\) fyrir öll E úr \(\mathcal F\).
Sýnið að \(\sigma\)-algebran \(\mathcal G\) sé innihaldin í \(\mathcal G'\) og \(\mu'(E) = \mu_c(E)\) fyrir öll E úr \(\mathcal G\).
Lausn.
Dæmi 2
Látum \(\mathcal F\) vera \(\sigma\)-algebru á \(\mathbb R^d\), sem fullnægir eftirtöldum tveimur skilyrðum:
Öll opin mengi í \(\mathbb R^d\) eru í \(\mathcal F\).
Einskorðun Lebesgue-utanmálsins \(m^*\) við \(\mathcal F\) er mál.
Sýnið að öll mengin í \(\mathcal F\) séu Lebesgue-mælanleg.
Lausn.
Dæmi 3
Látum \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) vera málrúm og \(A\in \mathcal F\). Setjum
\[ \mathcal F_A := \{A\cap E | E\in\mathcal F\} \]
og látum \(\mu_A: \mathcal F_A \rightarrow [0,\infty]\) vera einskorðun málsins \(\mu\).
(a) Er \(\mathcal F_A\) \(\sigma\)-algebra á \(\Omega\)?
Ef \(A \neq \Omega\) þá er \(\Omega \notin \mathcal F_A\) og þá er \(\mathcal F_A\) ekki \(\sigma\)-algebra á \(\Omega\).
(b) Er \(\mathcal F_A\) \(\sigma\)-algebra á A?
Augljóslega.
(c) Er \(\mu_A\) mál á \((A, \mathcal F_A)\)?
\(\mu_A(\emptyset) = \mu(\emptyset) = 0\). Ef \(B_m)_{m\in\mathbb N}\) er runa af innbyrðis sundurlægum mengjum úr \(\mathcal F_A\) þá gildir að \(\mu_A(\cup B_n) = \mu(\cup B_n) = \sum \mu = \sum \mu_A\)
(d) Er fallið \(v:\mathcal F \rightarrow [0,\infty]\), \(E\rightarrow \mu(E\cap A)\) mál á \((\Omega, \mathcal F)\)?
v(ö) = mu(0 sam A) = 0
En rruna af innb sund meng í F, þá
v(UEn)=mu(A snið UEn) = mu(sam (A snið En)) = sum mu(A snið E) = sum v(En)
JÁ!
Dæmi 4
Látum A og B vera tvo óháða atburði í líkindarúmi \((\Omega,\mathcal F, P)\). Sýnið að \(\sigma\)-algebran sem \(\{A\}\) framleiðir og \(\sigma\)-algebran sem \(\{B\}\) framleiðir séu óháðar.
Lausn.
Dæmi 5
Finnið dæmi um fall \(f\) á mælanlegu rúmi, sem er ekki mælanlegt, en hefur þann eiginleika ða föllin \(|f|\) og \(f^2\) eru bæði mælanleg.
Lausn.
Dæmi 6
Látum \(h\) vera samfellt raungilt fall á bili I í \(\mathbb R\) og \(f\) vera mælanlegt fall á mælanlegu rúmi \((\Omega, \mathcal F)\), sem varpar \(\Omega\) inn í bilið I.
(a) Sýnið að samskeytingin \(h\circ f: \Omega \rightarrow \mathbb R\) sé mælanlegt fall.
(b) Sýnið að um sérhvert mælanlegt fall \(f\) á tilteknu málrúmi gildi að föllin \(\log (|f|)\) og \(|f|^r\) séu mælanleg fyrir öll \(r > 0\).
Lausn.
Dæmi 7
Látum \(f\) vera mælanlegt fall á mælanlegu rúmi \((\Omega, \mathcal F)\) og \(C > 0\). Sýnið að afskorna fallið \(f_C\), sem skilgreint er með
\[ \begin{aligned} f_C(x) := \begin{cases} f(x) &\text{ef} \quad |f(x)| \leq C \\ C &\text{ef} \quad f(x) > C \\ -C &\text{ef} \quad f(x) < C, \end{cases} \end{aligned} \]
sé mælanlegt.
Skilgreining. Tvinngilt fall á málrúmi er sagt mælanlegt ef bæði raunhluti þess og þverhluti eru mælanleg föll.
Lausn.
Dæmi 8
(a) Látum \(f\) og \(g\) vera mælanleg tvinngild föll á tilteknu mælanlegu rúmi. Sýnið að föllin \(f + g\) og \(fg\) séu mælanleg.
(b) Látum \((f_n)_{n\geq1}\) vera samleitna runu af mælanlegum tvinngildum föllum á tilteknu málrúmi. Sýnið að markgildi rununnar sé mælanlegt fall.
Lausn.
Dæmi 9
Sýnið að tvinngilt fall \(f\) á málrúmi sé mælanlegt þá og því aðeins að um öll opin mengi \(U\) í \(\mathbb C\) gildi að mengið \(f^{-1}(U)\) sé mælanlegt mengi.
Lausn.