Vikublað 6

Dæmi 1

Látum $(\Omega, \mathcal G, \mu_c)$ vera fullkomnun málrúmsins $(\Omega, \mathcal F, \mu)$. Látum $\mathcal G'$ vera $\sigma$-algebru á $\Omega$ og $\mu': \mathcal G' \rightarrow [0,\infty]$ vera mál, sem uppfyllir eftirfarandi skilyrði:

• Málrúmið $(\Omega, \mathcal G', \mu')$ er fullkomið.

• $\mathcal F \subseteq \mathcal G'$ og $\mu'(E) = \mu(E)$ fyrir öll E úr $\mathcal F$.

Sýnið að $\sigma$-algebran $\mathcal G$ sé innihaldin í $\mathcal G'$ og $\mu'(E) = \mu_c(E)$ fyrir öll E úr $\mathcal G$.

---

Lausn.

Dæmi 2

Látum $\mathcal F$ vera $\sigma$-algebru á $\mathbb R^d$, sem fullnægir eftirtöldum tveimur skilyrðum:

• Öll opin mengi í $\mathbb R^d$ eru í $\mathcal F$.

• Einskorðun Lebesgue-utanmálsins $m^*$ við $\mathcal F$ er mál.

Sýnið að öll mengin í $\mathcal F$ séu Lebesgue-mælanleg.

---

Lausn.

Dæmi 3

Látum $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ vera málrúm og $A\in \mathcal F$. Setjum

$$\mathcal F_A := \{A\cap E | E\in\mathcal F\}$$

og látum $\mu_A: \mathcal F_A \rightarrow [0,\infty]$ vera einskorðun málsins $\mu$.

(a) Er $\mathcal F_A$ $\sigma$-algebra á $\Omega$?

Ef $A \neq \Omega$ þá er $\Omega \notin \mathcal F_A$ og þá er $\mathcal F_A$ ekki $\sigma$-algebra á $\Omega$.

(b) Er $\mathcal F_A$ $\sigma$-algebra á A?

Augljóslega.

(c) Er $\mu_A$ mál á $(A, \mathcal F_A)$?

$\mu_A(\emptyset) = \mu(\emptyset) = 0$. Ef $B_m)_{m\in\mathbb N}$ er runa af innbyrðis sundurlægum mengjum úr $\mathcal F_A$ þá gildir að $\mu_A(\cup B_n) = \mu(\cup B_n) = \sum \mu = \sum \mu_A$

(d) Er fallið $v:\mathcal F \rightarrow [0,\infty]$, $E\rightarrow \mu(E\cap A)$ mál á $(\Omega, \mathcal F)$?

v(ö) = mu(0 sam A) = 0

En rruna af innb sund meng í F, þá

v(UEn)=mu(A snið UEn) = mu(sam (A snið En)) = sum mu(A snið E) = sum v(En)

JÁ!

Dæmi 4

Látum A og B vera tvo óháða atburði í líkindarúmi $(\Omega,\mathcal F, P)$. Sýnið að $\sigma$-algebran sem $\{A\}$ framleiðir og $\sigma$-algebran sem $\{B\}$ framleiðir séu óháðar.

---

Lausn.

Dæmi 5

Finnið dæmi um fall $f$ á mælanlegu rúmi, sem er ekki mælanlegt, en hefur þann eiginleika ða föllin $|f|$ og $f^2$ eru bæði mælanleg.

---

Lausn.

Dæmi 6

Látum $h$ vera samfellt raungilt fall á bili I í $\mathbb R$ og $f$ vera mælanlegt fall á mælanlegu rúmi $(\Omega, \mathcal F)$, sem varpar $\Omega$ inn í bilið I.

(a) Sýnið að samskeytingin $h\circ f: \Omega \rightarrow \mathbb R$ sé mælanlegt fall.

(b) Sýnið að um sérhvert mælanlegt fall $f$ á tilteknu málrúmi gildi að föllin $\log (|f|)$ og $|f|^r$ séu mælanleg fyrir öll $r > 0$.

---

Lausn.

Dæmi 7

Látum $f$ vera mælanlegt fall á mælanlegu rúmi $(\Omega, \mathcal F)$ og $C > 0$. Sýnið að afskorna fallið $f_C$, sem skilgreint er með

$$\begin{aligned} f_C(x) := \begin{cases} f(x) &\text{ef} \quad |f(x)| \leq C \\ C &\text{ef} \quad f(x) > C \\ -C &\text{ef} \quad f(x) < C, \end{cases} \end{aligned}$$

sé mælanlegt.

Skilgreining. Tvinngilt fall á málrúmi er sagt mælanlegt ef bæði raunhluti þess og þverhluti eru mælanleg föll.

---

Lausn.

Dæmi 8

(a) Látum $f$ og $g$ vera mælanleg tvinngild föll á tilteknu mælanlegu rúmi. Sýnið að föllin $f + g$ og $fg$ séu mælanleg.

(b) Látum $(f_n)_{n\geq1}$ vera samleitna runu af mælanlegum tvinngildum föllum á tilteknu málrúmi. Sýnið að markgildi rununnar sé mælanlegt fall.

---

Lausn.

Dæmi 9

Sýnið að tvinngilt fall $f$ á málrúmi sé mælanlegt þá og því aðeins að um öll opin mengi $U$ í $\mathbb C$ gildi að mengið $f^{-1}(U)$ sé mælanlegt mengi.

---

Lausn.