3 Nokkur atriði varnandi raðir

3.1 Setning

Látum $(a_n)_{n\geq 0}$ vera runu í $[0, \infty]$ og látum $\mathcal S$ tákna mengi allra summa af gerðinni $\sum_{n\in I}a_n$ þar sem I er endanlegt hlutmengi í $\mathbb N$. Þá gildir

$$\sum_{n=0}^\infty a_n = \sup(\mathcal S)$$

3.2 Setning

Látum $\sum_{n=0}^\infty a_n$ vera alsamleitna tvinntalnaröð og $\sigma: \mathbb N \rightarrow \mathbb N$ vera gagntæka vörpum (m.ö.o. umröðun). Þá er röðin $\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}$ einnig alsamleiting og

$$\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)} = \sum_{n=0}^\infty a_n.$$

Eftirfarandi setning er einkar áhugaverð í tengslum við setningu 2.1.2, en kemur ekki við sögu í þessu námskeiði.

3.3 Umröðunarsetning Riemanns

Látum $\sum_{n=0}^\infty a_n$ vera skilyrt samleitna rauntalnaröð og $c$ og $d$ vera stök úr $\overline{\mathbb R}$ þannig að $c\leq d$. Þá er til umröðum $\sigma: \mathbb N \rightarrow \mathbb N$, sem hefur þann eiginleika

$$\liminf \sum_{k=0}^n a_{\sigma(k)} = 0 \quad \text{og} \quad \limsup \sum_{k=0}^n a_{\sigma(k)} = d.$$

Látum I vera óendanlegt teljanlegt mengi og $(a_i)_{i\in I}$ vera fjölskyldu af tvinntölum. Við segjum að summan $\sum_{i\in I}a_i$ sé alsamleitin ef til er gagntæk vörpun $\sigma: \mathbb N \rightarrow I$, sem hefur þann eiginleika að $\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}$ sé alsamleitin. Sé svo, þá gildir samkvæmt setningu 2.1.2 að talan $\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}$ er óháð því hvaða vörpun $\sigma$ er valin. Við setjum þá

$$\sum_{i\in I}a_i := \sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}$$

og köllum summu fjölskyldunnar $(a_i)_{i\in I}$

3.4 Æfing

Látum I vera óendanlegt teljanlegt mengi og $(a_i)_{i\in I}$ vera fjölskyldu af tvinntölum.

(a) Gerið grein fyrir að summan $\sum_{i\in I}a_i$ sé alsamleitin þá og því aðeins að til sé rauntala K, sem hefur þann eiginleika að

$$\sum_{i\in F} |a_i| \leq K$$

fyrir sérhvert endanlegt hlutmengi F í I.

(b) Gerum ráð fyrir að summan $\sum_{i\in I}a_i$ sé alsamleitin og setjum $A:= \sum_{i\in I}a_i$. Sýnið að fyrir sérhvert $\varepsilon > 0$ sé til endanlegt hlutmengi F í I, sem hefur þann eiginleika að

$$|\sum_{i\in J}a_i - A| < \varepsilon$$

fyrir sérhvert endanlegt hlutmengi J í I sem inniheldur F.

3.5 Setning

Tvinntalnasumma $\sum_{(m,n)\in \mathbb N^2}a_{m,n}$ er alsamleitin þá og því aðeins að

$$\sum_{m=0}^\infty(\sum_{n=0}^\infty|a_{m,n}|) < \infty,$$

og sé svo þá gildir

$$\sum_{(m,n)\in\mathbb N^2} a_{m,n} = \sum_{m=0}^\infty(\sum_{n=0}^\infty a_{m,n}) = \sum_{n=0}^\infty(\sum_{m=0}^\infty a_{m,n})$$

3.6 Setning

Fyrir sérhverja fjölskyldu $(a_{m,n})_{(m,n)\in \mathbb N^2}$ í $[0, \infty]$ gildir

$$\sum_{(m,n)\in\mathbb N^2}a_{m,n} = \sum_{m=0}^\infty(\sum_{n=0}^\infty a_{m,n}) = \sum_{n=0}^\infty(\sum_{m=0}^\infty a_{m,n})$$