3 Nokkur atriði varnandi raðir

3.1 Setning

Látum \((a_n)_{n\geq 0}\) vera runu í \([0, \infty]\) og látum \(\mathcal S\) tákna mengi allra summa af gerðinni \(\sum_{n\in I}a_n\) þar sem I er endanlegt hlutmengi í \(\mathbb N\). Þá gildir

\[ \sum_{n=0}^\infty a_n = \sup(\mathcal S) \]

3.2 Setning

Látum \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) vera alsamleitna tvinntalnaröð og \(\sigma: \mathbb N \rightarrow \mathbb N\) vera gagntæka vörpum (m.ö.o. umröðun). Þá er röðin \(\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}\) einnig alsamleiting og

\[ \sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)} = \sum_{n=0}^\infty a_n. \]

Eftirfarandi setning er einkar áhugaverð í tengslum við setningu 2.1.2, en kemur ekki við sögu í þessu námskeiði.

3.3 Umröðunarsetning Riemanns

Látum \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) vera skilyrt samleitna rauntalnaröð og \(c\) og \(d\) vera stök úr \(\overline{\mathbb R}\) þannig að \(c\leq d\). Þá er til umröðum \(\sigma: \mathbb N \rightarrow \mathbb N\), sem hefur þann eiginleika

\[ \liminf \sum_{k=0}^n a_{\sigma(k)} = 0 \quad \text{og} \quad \limsup \sum_{k=0}^n a_{\sigma(k)} = d. \]

Látum I vera óendanlegt teljanlegt mengi og \((a_i)_{i\in I}\) vera fjölskyldu af tvinntölum. Við segjum að summan \(\sum_{i\in I}a_i\) sé alsamleitin ef til er gagntæk vörpun \(\sigma: \mathbb N \rightarrow I\), sem hefur þann eiginleika að \(\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}\) sé alsamleitin. Sé svo, þá gildir samkvæmt setningu 2.1.2 að talan \(\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}\) er óháð því hvaða vörpun \(\sigma\) er valin. Við setjum þá

\[ \sum_{i\in I}a_i := \sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)} \]

og köllum summu fjölskyldunnar \((a_i)_{i\in I}\)

3.4 Æfing

Látum I vera óendanlegt teljanlegt mengi og \((a_i)_{i\in I}\) vera fjölskyldu af tvinntölum.

(a) Gerið grein fyrir að summan \(\sum_{i\in I}a_i\) sé alsamleitin þá og því aðeins að til sé rauntala K, sem hefur þann eiginleika að

\[ \sum_{i\in F} |a_i| \leq K \]

fyrir sérhvert endanlegt hlutmengi F í I.

(b) Gerum ráð fyrir að summan \(\sum_{i\in I}a_i\) sé alsamleitin og setjum \(A:= \sum_{i\in I}a_i\). Sýnið að fyrir sérhvert \(\varepsilon > 0\) sé til endanlegt hlutmengi F í I, sem hefur þann eiginleika að

\[ |\sum_{i\in J}a_i - A| < \varepsilon \]

fyrir sérhvert endanlegt hlutmengi J í I sem inniheldur F.

3.5 Setning

Tvinntalnasumma \(\sum_{(m,n)\in \mathbb N^2}a_{m,n}\) er alsamleitin þá og því aðeins að

\[ \sum_{m=0}^\infty(\sum_{n=0}^\infty|a_{m,n}|) < \infty, \]

og sé svo þá gildir

\[ \sum_{(m,n)\in\mathbb N^2} a_{m,n} = \sum_{m=0}^\infty(\sum_{n=0}^\infty a_{m,n}) = \sum_{n=0}^\infty(\sum_{m=0}^\infty a_{m,n}) \]

3.6 Setning

Fyrir sérhverja fjölskyldu \((a_{m,n})_{(m,n)\in \mathbb N^2}\) í \([0, \infty]\) gildir

\[ \sum_{(m,n)\in\mathbb N^2}a_{m,n} = \sum_{m=0}^\infty(\sum_{n=0}^\infty a_{m,n}) = \sum_{n=0}^\infty(\sum_{m=0}^\infty a_{m,n}) \]