6 Riemann-heildi (Darboux-útgáfan)

Látum R vera d-kassa og \(f: R \rightarrow \mathbb R\) vera fall. Látum \(\mathcal S\) vera mengi allra rauntalna af gerðinni \(\int_R s\), þar sem \(s\) er tröppufall á R, sem uppfyllir \(s(x) \leq f(x)\) fyrir öll \(x\) úr R og látum \(\mathcal T\) vera mengi allra rauntalna af gerðinni \(\int_R t\), þar sem \(t\) er tröppufall á R, sem uppfyllir \(f(x) \leq t(x)\) fyrir öll \(x\) úr R.

Setjum svo

\[ \underline{\int_R f}:= \sup \mathcal S \quad \text{og} \quad \overline{\int_R f} := \inf\mathcal T. \]

Við köllum fyrri töluna undirheildi fallsins \(f\) á R og seinni töluna yfirheildi fallsins \(f\) á R.

---

6.1 Skilgreining

Látum R vera d-kassa. Við segjum að fall \(f: R \rightarrow \mathbb R\) sé Riemann-heildanlegt ef það er takmarkað og

\[ \underline{\int_R f} = \overline{\int_R f}. \]

Við segjum þá að talan

\[ \int_R f := \underline{\int_R f} = \overline{\int_R f} \]

sé heildi fallsins \(f\) yfir R.

---

6.2 Skilgreining

Látum C vera takmarkað hlutmengi í \(\mathbb R^d\) og R vera \(d-\)kassa sem inniheldur C. Við segjum að fall \(f: C\rightarrow\mathbb R\) sé Riemann-heildanlegt ef fallið \(\tilde f:R\rightarrow\mathbb R\) sem skilgreint er með \(\tilde f(x) = f(x)\) fyrir \(x \in C\) og \(\tilde f(x) = 0\) fyrir \(x \in R \backslash C\), er Riemann-heildanlegt. Við segjum þá að talan

\[ \int_C f := \int_R \tilde f \]

sé heildi fallsins \(f\) yfir \(C\).

---

6.3 Setning

Látum C vera takmarkað hlutmengi í \(\mathbb R^d\) og \(f\) og \(g\) vera Riemann-heildanleg föll á C, sem uppfylla \(f(x) \leq g(x)\) fyrir öll \(x\) úr C. Þá gildir að

\[ \int_C f \leq \int_C g. \]

---

6.4 Setning

Samfellt og takmarkað fall á Jordan-mælanlegu mengi er Riemann-heildanlegt.

---