6 Riemann-heildi (Darboux-útgáfan)

Látum R vera d-kassa og $f: R \rightarrow \mathbb R$ vera fall. Látum $\mathcal S$ vera mengi allra rauntalna af gerðinni $\int_R s$, þar sem $s$ er tröppufall á R, sem uppfyllir $s(x) \leq f(x)$ fyrir öll $x$ úr R og látum $\mathcal T$ vera mengi allra rauntalna af gerðinni $\int_R t$, þar sem $t$ er tröppufall á R, sem uppfyllir $f(x) \leq t(x)$ fyrir öll $x$ úr R.

Setjum svo

$$\underline{\int_R f}:= \sup \mathcal S \quad \text{og} \quad \overline{\int_R f} := \inf\mathcal T.$$

Við köllum fyrri töluna undirheildi fallsins $f$ á R og seinni töluna yfirheildi fallsins $f$ á R.

---

6.1 Skilgreining

Látum R vera d-kassa. Við segjum að fall $f: R \rightarrow \mathbb R$ sé Riemann-heildanlegt ef það er takmarkað og

$$\underline{\int_R f} = \overline{\int_R f}.$$

Við segjum þá að talan

$$\int_R f := \underline{\int_R f} = \overline{\int_R f}$$

sé heildi fallsins $f$ yfir R.

---

6.2 Skilgreining

Látum C vera takmarkað hlutmengi í $\mathbb R^d$ og R vera $d-$kassa sem inniheldur C. Við segjum að fall $f: C\rightarrow\mathbb R$ sé Riemann-heildanlegt ef fallið $\tilde f:R\rightarrow\mathbb R$ sem skilgreint er með $\tilde f(x) = f(x)$ fyrir $x \in C$ og $\tilde f(x) = 0$ fyrir $x \in R \backslash C$, er Riemann-heildanlegt. Við segjum þá að talan

$$\int_C f := \int_R \tilde f$$

sé heildi fallsins $f$ yfir $C$.

---

6.3 Setning

Látum C vera takmarkað hlutmengi í $\mathbb R^d$ og $f$ og $g$ vera Riemann-heildanleg föll á C, sem uppfylla $f(x) \leq g(x)$ fyrir öll $x$ úr C. Þá gildir að

$$\int_C f \leq \int_C g.$$

---

6.4 Setning

Samfellt og takmarkað fall á Jordan-mælanlegu mengi er Riemann-heildanlegt.

---