18 Heildun með stikabreytu

Í þessari grein táknar \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) málrúm og fall \(f:\Omega\times[a,b]\rightarrow\mathbb R\), sem hefur þann eiginleika að

\[ f(-,t):\Omega\rightarrow\mathbb R,\quad x\rightarrow f(x,t) \]

er mælanlegt fyrir sérhvert \(t\).

18.1 Setning

Gerum ráð fyrir að \(f\) fullnægi eftirfarandi skilyrðum

\[ f(x,t_0) = \lim_{t\rightarrow t_0}f(x,t) \quad \text{fyrir öll }x\in\Omega. \]

\[ |f(x,t)|\leq g(x) \quad \text{fyrir öll } (x,t)\in\Omega\times[a,b]. \]

Þá gildir \(\lim_{t\rightarrow t_0}\int_\Omega f(x,t)d\mu(x) = \int_\Omega f(x,t_0)d\mu(x)\)

Sönnun.

Gerum ráð fyrir að \(f\) fullnægi eftirfarandi skilyrðum:

Fyrir sérhvert \(x\) úr \(\Omega\) er fallið \(t\rightarrow f(x,t)\) samfellt á \([a,b]\).
Til er \(g\in\mathcal L^1(\Omega,\mu)\) sem uppfyllir

\[ |f(x,t)|\leq g(x) \quad \text{fyrir öll } (x,t)\in\Omega\times[a,b] \]

Þá gildir að fallið

\[ F:[a,b]\rightarrow\mathbb R,\quad t\rightarrow\int_\Omega f(x,t) d\mu(x) \]

er samfellt.

Sönnun.

Gerum ráð fyrir að \(f\) fullnægi eftirfarandi skilyrðum:

Til er \(t_0\in[a,b]\), sem hefur þann eiginleika að \(f(-,t_0)\in\mathcal L^1(\Omega,\mu)\).
Hlutafleiðan \(\frac{\partial f}{\partial t}\) er til í sérhverjum punkti úr \(\Omega\times[a,b]\).
Til er \(g\in\mathcal L^1(\Omega,\mu)\) sem uppfyllir

\[ \left| \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \right| \leq g(x) \quad\text{fyrir öll } (x,t)\in\Omega\times[a,b]. \]

Þá gildir að fallið \(F\), sem skilgreint er í setningu 16.2.2, er diffranlegt og

\[ \frac{dF}{dt}(t) = \int_\Omega \frac{\partial f}{\partial t}(x,t)d\mu(x). \]

Sönnun.

Gerum ráð fyrir að \(f\) fullnægi eftirfarandi skilyrðum:

Fyrir sérhvert \(x\) úr \(\Omega\) er fallið \(t\rightarrow f(x,t)\) samfellt á \([a,b]\).
Til er \(g\in\mathcal L^2(\Omega,\mu)\) sem uppfyllir

\[ |f(x,t)|\leq g(x) \quad \text{fyrir öll }(x,t)\in\Omega\times[a,b]. \]

Þá gildir

\[ \int_a^b\left[\int_\Omega f(x,t)d\mu(x)\right]dt = \int_\Omega\left[\int_a^b f(x,t)dt\right]d\mu(x). \]

Sönnun.