18 Heildun með stikabreytu

Í þessari grein táknar $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ málrúm og fall $f:\Omega\times[a,b]\rightarrow\mathbb R$ , sem hefur þann eiginleika að

$f(-,t):\Omega\rightarrow\mathbb R,\quad x\rightarrow f(x,t)$

er mælanlegt fyrir sérhvert $t$ .

18.1 Setning

Gerum ráð fyrir að $f$ fullnægi eftirfarandi skilyrðum

$f(x,t_0) = \lim_{t\rightarrow t_0}f(x,t) \quad \text{fyrir öll }x\in\Omega.$

$|f(x,t)|\leq g(x) \quad \text{fyrir öll } (x,t)\in\Omega\times[a,b].$

Þá gildir $\lim_{t\rightarrow t_0}\int_\Omega f(x,t)d\mu(x) = \int_\Omega f(x,t_0)d\mu(x)$

Sönnun.

Gerum ráð fyrir að $f$ fullnægi eftirfarandi skilyrðum:

Fyrir sérhvert $x$ úr $\Omega$ er fallið $t\rightarrow f(x,t)$ samfellt á $[a,b]$ .
Til er $g\in\mathcal L^1(\Omega,\mu)$ sem uppfyllir

$|f(x,t)|\leq g(x) \quad \text{fyrir öll } (x,t)\in\Omega\times[a,b]$

Þá gildir að fallið

$F:[a,b]\rightarrow\mathbb R,\quad t\rightarrow\int_\Omega f(x,t) d\mu(x)$

er samfellt.

Sönnun.

Gerum ráð fyrir að $f$ fullnægi eftirfarandi skilyrðum:

Til er $t_0\in[a,b]$ , sem hefur þann eiginleika að $f(-,t_0)\in\mathcal L^1(\Omega,\mu)$ .
Hlutafleiðan $\frac{\partial f}{\partial t}$ er til í sérhverjum punkti úr $\Omega\times[a,b]$ .
Til er $g\in\mathcal L^1(\Omega,\mu)$ sem uppfyllir

$\left| \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \right| \leq g(x) \quad\text{fyrir öll } (x,t)\in\Omega\times[a,b].$

Þá gildir að fallið $F$ , sem skilgreint er í setningu 16.2.2, er diffranlegt og

$\frac{dF}{dt}(t) = \int_\Omega \frac{\partial f}{\partial t}(x,t)d\mu(x).$

Sönnun.

Gerum ráð fyrir að $f$ fullnægi eftirfarandi skilyrðum:

Fyrir sérhvert $x$ úr $\Omega$ er fallið $t\rightarrow f(x,t)$ samfellt á $[a,b]$ .
Til er $g\in\mathcal L^2(\Omega,\mu)$ sem uppfyllir

$|f(x,t)|\leq g(x) \quad \text{fyrir öll }(x,t)\in\Omega\times[a,b].$

Þá gildir

$\int_a^b\left[\int_\Omega f(x,t)d\mu(x)\right]dt = \int_\Omega\left[\int_a^b f(x,t)dt\right]d\mu(x).$

Sönnun.